Bài tập nâng cao · Bài 34
Dạng 6. Bài toán min-max - Sử dụng phương pháp chứng minh đại số quen biết. - Sử dụng các tính chất về dấu của giá trị lượng giác một góc. - Sử dụng kết quả $\left| \sin\alpha \right|\leq 1,\,\,\left| \cos\alpha \right|\leq 1$ với mọi số thực $\alpha$
Bài tập nâng cao Công thức lượng giác · Bài 34
Cho $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$. Chứng minh rằng $\left( \sin\alpha +\frac{1}{2\cos\alpha} \right)\left( \cos\alpha +\frac{1}{2\sin\alpha} \right)\geq 2$
Xem lời giải
Lời giải
Ta có $\left( \sin\alpha +\frac{1}{2\cos\alpha} \right)\left( \cos\alpha +\frac{1}{2\sin\alpha} \right)=\sin\alpha\cos\alpha +\frac{1}{4\sin\alpha\cos\alpha}+1$
Vì $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$ nên $\sin\alpha\cos\alpha >0$.
Áp dụng bất đẳng thức côsi ta có
$\sin\alpha\cos\alpha +\frac{1}{4\sin\alpha\cos\alpha}\geq 2\sqrt{\sin\alpha\cos\alpha .\frac{1}{4\sin\alpha\cos\alpha}}=1$
Suy ra $\left( \sin\alpha +\frac{1}{2\cos\alpha} \right)\left( \cos\alpha +\frac{1}{2\sin\alpha} \right)\geq 2$ ĐPCM.
Vì $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$ nên $\sin\alpha\cos\alpha >0$.
Áp dụng bất đẳng thức côsi ta có
$\sin\alpha\cos\alpha +\frac{1}{4\sin\alpha\cos\alpha}\geq 2\sqrt{\sin\alpha\cos\alpha .\frac{1}{4\sin\alpha\cos\alpha}}=1$
Suy ra $\left( \sin\alpha +\frac{1}{2\cos\alpha} \right)\left( \cos\alpha +\frac{1}{2\sin\alpha} \right)\geq 2$ ĐPCM.