Bài tập nâng cao · Bài 35
Dạng 6. Bài toán min-max - Sử dụng phương pháp chứng minh đại số quen biết. - Sử dụng các tính chất về dấu của giá trị lượng giác một góc. - Sử dụng kết quả $\left| \sin\alpha \right|\leq 1,\,\,\left| \cos\alpha \right|\leq 1$ với mọi số thực $\alpha$
Bài tập nâng cao Công thức lượng giác · Bài 35
Chứng minh rằng với $0\leq \alpha \leq \pi$ thì $\left( 2\cos 2\alpha -1 \right)^{2}-4\sin^{2}\left( \frac{\alpha}{2}-\frac{\pi}{4} \right)>\left( \sqrt{2\sin\alpha}-2 \right)\left( 3-2\cos 2\alpha \right)$.
Xem lời giải
Lời giải
Bất đẳng thức tương đương với
$\Leftrightarrow \left( 2\cos 2\alpha -1 \right)^{2}-2\left[ 1-\cos\left( \alpha -\frac{\pi}{2} \right) \right]+2\left( 3-2\cos 2\alpha \right)>\sqrt{2\sin\alpha}\left[ 3-2\left( 1-2\sin^{2}\alpha \right) \right]$
$\Leftrightarrow 4\cos^{2}2\alpha -8\cos 2\alpha +5+2\sin\alpha >\sqrt{2\sin\alpha}\left( 4\sin^{2}\alpha +1 \right)$
$\Leftrightarrow 4\left( 1-\cos 2\alpha \right)^{2}+1+2\sin\alpha >\sqrt{2\sin\alpha}\left( 4\sin^{2}\alpha +1 \right)$
$\Leftrightarrow 16\sin^{4}\alpha +2\sin\alpha +1>\sqrt{2\sin\alpha}\left( 4\sin^{2}\alpha +1 \right)$
Đặt $\sqrt{2\sin\alpha}=t$, vì $0\leq \alpha \leq \pi \Rightarrow 0\leq t\leq \sqrt{2}$.
Bất đẳng thức trở thành $t^{8}+t^{2}+1>t\left( t^{4}+1 \right)\Leftrightarrow t^{8}-t^{5}+t^{2}-t+1>0$ (*)
+ Nếu $0\leq t < 1$: $(*)\Leftrightarrow t^{8}+t^{2}\left( 1-t^{3} \right)+1-t>0$ đúng vì $1-t>0,\,\,1-t^{3}>0,\,t^{2}\geq 0$ và $t^{8}\geq 0$.
+ Nếu $1\leq t\leq \sqrt{2}$: $(*)\Leftrightarrow t^{5}\left( t^{3}-1 \right)+t\left( t-1 \right)+1>0$ đúng vì $t^{5}\left( t^{3}-1 \right)\geq 0,\,\,t\left( t-1 \right)\geq 0$.
Vậy bất đẳng thức (*) đúng suy ra ĐPCM.
$\Leftrightarrow \left( 2\cos 2\alpha -1 \right)^{2}-2\left[ 1-\cos\left( \alpha -\frac{\pi}{2} \right) \right]+2\left( 3-2\cos 2\alpha \right)>\sqrt{2\sin\alpha}\left[ 3-2\left( 1-2\sin^{2}\alpha \right) \right]$
$\Leftrightarrow 4\cos^{2}2\alpha -8\cos 2\alpha +5+2\sin\alpha >\sqrt{2\sin\alpha}\left( 4\sin^{2}\alpha +1 \right)$
$\Leftrightarrow 4\left( 1-\cos 2\alpha \right)^{2}+1+2\sin\alpha >\sqrt{2\sin\alpha}\left( 4\sin^{2}\alpha +1 \right)$
$\Leftrightarrow 16\sin^{4}\alpha +2\sin\alpha +1>\sqrt{2\sin\alpha}\left( 4\sin^{2}\alpha +1 \right)$
Đặt $\sqrt{2\sin\alpha}=t$, vì $0\leq \alpha \leq \pi \Rightarrow 0\leq t\leq \sqrt{2}$.
Bất đẳng thức trở thành $t^{8}+t^{2}+1>t\left( t^{4}+1 \right)\Leftrightarrow t^{8}-t^{5}+t^{2}-t+1>0$ (*)
+ Nếu $0\leq t < 1$: $(*)\Leftrightarrow t^{8}+t^{2}\left( 1-t^{3} \right)+1-t>0$ đúng vì $1-t>0,\,\,1-t^{3}>0,\,t^{2}\geq 0$ và $t^{8}\geq 0$.
+ Nếu $1\leq t\leq \sqrt{2}$: $(*)\Leftrightarrow t^{5}\left( t^{3}-1 \right)+t\left( t-1 \right)+1>0$ đúng vì $t^{5}\left( t^{3}-1 \right)\geq 0,\,\,t\left( t-1 \right)\geq 0$.
Vậy bất đẳng thức (*) đúng suy ra ĐPCM.