Bài tập nâng cao · Bài 36
Dạng 6. Bài toán min-max - Sử dụng phương pháp chứng minh đại số quen biết. - Sử dụng các tính chất về dấu của giá trị lượng giác một góc. - Sử dụng kết quả $\left| \sin\alpha \right|\leq 1,\,\,\left| \cos\alpha \right|\leq 1$ với mọi số thực $\alpha$
Bài tập nâng cao Công thức lượng giác · Bài 36
Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của biểu thức sau:
a) $A=\sin x+\cos x$
b) $B=\sin^{4}x+\cos^{4}x$
a) $A=\sin x+\cos x$
b) $B=\sin^{4}x+\cos^{4}x$
Xem lời giải
Lời giải
a) Ta có $A^{2}=\left( \sin x+\cos x \right)^{2}=\sin^{2}x+\cos^{2}x+2\sin x\cos x=1+\sin 2x$
Vì $\sin 2x\leq 1$ nên $A^{2}=1+\sin 2x\leq 1+1=2$ suy ra $-\sqrt{2}\leq A\leq \sqrt{2}$.
Khi $x=\frac{\pi}{4}$ thì $A=\sqrt{2}$, $x=-\frac{3\pi}{4}$ thì $A=-\sqrt{2}$
Do đó $\max A=\sqrt{2}$ và $\min A=-\sqrt{2}$.
b) Ta có $B=\left( \frac{1-\cos 2x}{2} \right)^{2}+\left( \frac{1+\cos 2x}{2} \right)^{2}=\frac{1-2\cos 2x+\cos^{2}2x}{4}+\frac{1+2\cos 2x+\cos^{2}2x}{4}$
$=\frac{2+2\cos^{2}2x}{4}=\frac{2+1+\cos 4x}{4}=\frac{3}{4}+\frac{1}{4}.\cos 4x$
Vì $-1\leq \cos 4x\leq 1$ nên $\frac{1}{2}\leq \frac{3}{4}+\frac{1}{4}.\cos 4x\leq 1$ suy ra $\frac{1}{2}\leq B\leq 1$.
Vậy $\max B=1$ khi $\cos 4x=1$ và $\min B=\frac{1}{2}$ khi $\cos 4x=-1$.
Vì $\sin 2x\leq 1$ nên $A^{2}=1+\sin 2x\leq 1+1=2$ suy ra $-\sqrt{2}\leq A\leq \sqrt{2}$.
Khi $x=\frac{\pi}{4}$ thì $A=\sqrt{2}$, $x=-\frac{3\pi}{4}$ thì $A=-\sqrt{2}$
Do đó $\max A=\sqrt{2}$ và $\min A=-\sqrt{2}$.
b) Ta có $B=\left( \frac{1-\cos 2x}{2} \right)^{2}+\left( \frac{1+\cos 2x}{2} \right)^{2}=\frac{1-2\cos 2x+\cos^{2}2x}{4}+\frac{1+2\cos 2x+\cos^{2}2x}{4}$
$=\frac{2+2\cos^{2}2x}{4}=\frac{2+1+\cos 4x}{4}=\frac{3}{4}+\frac{1}{4}.\cos 4x$
Vì $-1\leq \cos 4x\leq 1$ nên $\frac{1}{2}\leq \frac{3}{4}+\frac{1}{4}.\cos 4x\leq 1$ suy ra $\frac{1}{2}\leq B\leq 1$.
Vậy $\max B=1$ khi $\cos 4x=1$ và $\min B=\frac{1}{2}$ khi $\cos 4x=-1$.