Dạng 6. Bài toán min-max
- Sử dụng phương pháp chứng minh đại số quen biết.
- Sử dụng các tính chất về dấu của giá trị lượng giác một góc.
- Sử dụng kết quả $\left| \sin\alpha \right|\leq 1,\,\,\left| \cos\alpha \right|\leq 1$ với mọi số thực $\alpha$
Bài tập nâng cao Công thức lượng giác · Bài 37
Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của biểu thức $A=2-2\sin x-\cos 2x$
Xem lời giải
Lời giải
Ta có $A=2-2\sin x-\left( 1-2\sin^{2}x \right)=2\sin^{2}x-2\sin x+1$
Đặt $t=\sin x,\,\,|t|\leq 1$ khi đó biểu thức trở thành $A=2t^{2}-2t+1$
Xét hàm số $y=2t^{2}-2t+1$ với $|t|\leq 1$.
Bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên suy ra $\max A=5$ khi $t=-1$ hay $\sin x=-1$.
$\min A=\frac{1}{2}$ khi $t=\frac{1}{2}$ hay $\sin x=\frac{1}{2}$.
