Bài tự luận · Bài 35
Dạng 2. Áp dụng tính chất của giá trị lượng giác Phương pháp: Giả sử $M$ có toạ độ $(x;y)$. Ta có: $\cos\alpha =x;\sin\alpha =y$ $\tan\alpha =\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\frac{y}{x}(\cos\alpha =x\neq 0);\cot\alpha =\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}=\frac{x}{y}(\sin\alpha =y\neq 0).$ - $\cos^{2}\alpha +\sin^{2}\alpha =1$ với mọi $\alpha$; - $\tan\alpha \cdot \cot\alpha =1$ với $\cos\alpha \neq 0,\sin\alpha \neq 0$; - $1+\tan^{2}\alpha =\frac{1}{\cos^{2}\alpha}$ với $\cos\alpha \neq 0$ - $1+\cot^{2}\alpha =\frac{1}{\sin^{2}\alpha}$ với $\sin\alpha \neq 0$.
Bài tự luận Giá trị lượng giác của góc lượng giác · Bài 35
(CTST 11) a) Cho $\tan\alpha+\cot\alpha=2$. Tính giá trị của biểu thức $\tan^{3}\alpha+\cot^{3}\alpha$.
b) Cho $\sin\alpha+\cos\alpha=\frac{1}{4}$. Tính giá trị của biểu thức $\sin\alpha\cos\alpha$.
c) Cho $\sin\alpha+\cos\alpha=\frac{1}{2}$. Tính giá trị của biểu thức $\sin^{3}\alpha+\cos^{3}\alpha$.
b) Cho $\sin\alpha+\cos\alpha=\frac{1}{4}$. Tính giá trị của biểu thức $\sin\alpha\cos\alpha$.
c) Cho $\sin\alpha+\cos\alpha=\frac{1}{2}$. Tính giá trị của biểu thức $\sin^{3}\alpha+\cos^{3}\alpha$.
Xem lời giải
Lời giải
a) $\tan^{3}\alpha+\cot^{3}\alpha=(\tan\alpha+\cot\alpha)^{3}-3\tan\alpha\cot\alpha(\tan\alpha+\cot\alpha)$
$=(\tan\alpha+\cot\alpha)^{3}-3(\tan\alpha+\cot\alpha)=2^{3}-3.2=2.$
b) $(\sin\alpha+\cos\alpha)^{2}=\sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha+2\sin\alpha\cos\alpha=1+2\sin\alpha\cos\alpha$.
Do đó $\sin\alpha\cos\alpha=\frac{1}{2}\left[ (\sin\alpha+\cos\alpha)^{2}-1 \right]=\frac{1}{2}\left[ \left( \frac{1}{4} \right)^{2}-1 \right]=-\frac{15}{32}$.
c)
$\begin{array}{ll} \sin^{3}\alpha+\cos^{3}\alpha & =(\sin\alpha+\cos\alpha)\left( \sin^{2}\alpha-\sin\alpha\cos\alpha+\cos^{2}\alpha \right) \\ & =(\sin\alpha+\cos\alpha)(1-\sin\alpha\cos\alpha) \end{array}$
Mà $\sin\alpha\cos\alpha=\frac{1}{2}\left[ (\sin\alpha+\cos\alpha)^{2}-1 \right]=\frac{1}{2}\left[ \left( \frac{1}{2} \right)^{2}-1 \right]=-\frac{3}{8}$,
nên $\sin^{3}\alpha+\cos^{3}\alpha=\frac{1}{2}\cdot \left[ 1-\left( -\frac{3}{8} \right) \right]=\frac{1}{2}\cdot \frac{11}{8}=\frac{11}{16}.$
$=(\tan\alpha+\cot\alpha)^{3}-3(\tan\alpha+\cot\alpha)=2^{3}-3.2=2.$
b) $(\sin\alpha+\cos\alpha)^{2}=\sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha+2\sin\alpha\cos\alpha=1+2\sin\alpha\cos\alpha$.
Do đó $\sin\alpha\cos\alpha=\frac{1}{2}\left[ (\sin\alpha+\cos\alpha)^{2}-1 \right]=\frac{1}{2}\left[ \left( \frac{1}{4} \right)^{2}-1 \right]=-\frac{15}{32}$.
c)
$\begin{array}{ll} \sin^{3}\alpha+\cos^{3}\alpha & =(\sin\alpha+\cos\alpha)\left( \sin^{2}\alpha-\sin\alpha\cos\alpha+\cos^{2}\alpha \right) \\ & =(\sin\alpha+\cos\alpha)(1-\sin\alpha\cos\alpha) \end{array}$
Mà $\sin\alpha\cos\alpha=\frac{1}{2}\left[ (\sin\alpha+\cos\alpha)^{2}-1 \right]=\frac{1}{2}\left[ \left( \frac{1}{2} \right)^{2}-1 \right]=-\frac{3}{8}$,
nên $\sin^{3}\alpha+\cos^{3}\alpha=\frac{1}{2}\cdot \left[ 1-\left( -\frac{3}{8} \right) \right]=\frac{1}{2}\cdot \frac{11}{8}=\frac{11}{16}.$