Bài tập nâng cao · Bài 1
Bài tập nâng cao Nhị thức Newton · Bài 1
Tìm số thực $ m $ thỏa
$ \frac { 1 } { 1!2020! }+\frac { 1 } { 2!2019! }+\frac { 1 } { 3!2018! }+\ldots +\frac { 1 } { 1009!1012! }+\frac { 1 } { 1010!1011! }=\frac { 2 ^ { 2020 } -2021m } { 2021! } $
$ \frac { 1 } { 1!2020! }+\frac { 1 } { 2!2019! }+\frac { 1 } { 3!2018! }+\ldots +\frac { 1 } { 1009!1012! }+\frac { 1 } { 1010!1011! }=\frac { 2 ^ { 2020 } -2021m } { 2021! } $
Xem lời giải
Lời giải
Ta có $ \frac { 1 } { k!\left ( { n-k } \right )! }=\frac { n! } { k!\left ( { n-k } \right )!n! }=\frac { C_{ n } ^{ k } } { n! } $.
Do đó $ \frac { 1 } { 1!2020! }+\frac { 1 } { 2!2019! }+\frac { 1 } { 3!2018! }+\ldots +\frac { 1 } { 1009!1012! }+\frac { 1 } { 1010!1011! } $
$ =\frac { C_{ 2021 } ^{ 1 } } { 2021! }+\frac { C_{ 2021 } ^{ 2 } } { 2021! }+\frac { C_{ 2021 } ^{ 3 } } { 2021! }+\ldots +\frac { C_{ 2021 } ^{ 1009 } } { 2021! }+\frac { C_{ 2021 } ^{ 1010 } } { 2021! }=\frac { C_{ 2021 } ^{ 1 }+C_{ 2021 } ^{ 2 }+C_{ 2021 } ^{ 3 }+\ldots +C_{ 2021 } ^{ 1009 }+C_{ 2021 } ^{ 1010 } } { 2021! } $
Xét khai triển $ \left ( { 1+x } \right ) ^ { 2021 } =C_{ 2021 } ^{ 0 }+C_{ 2021 } ^{ 1 }x+C_{ 2021 } ^{ 2 }x ^ { 2 } +C_{ 2021 } ^{ 3 }x ^ { 3 } +\ldots +C_{ 2021 } ^{ 2020 }x ^ { 2020 } +C_{ 2021 } ^{ 2021 }x ^ { 2021 } $.
Chọn $ x=1 $ thế vào khai triển ta được $ 2 ^ { 2021 } =C_{ 2021 } ^{ 0 }+C_{ 2021 } ^{ 1 }+C_{ 2021 } ^{ 2 }+C_{ 2021 } ^{ 3 }+\ldots +C_{ 2021 } ^{ 2020 }+C_{ 2021 } ^{ 2021 } $.
Vì $ C_{ 2021 } ^{ k }=C_{ 2021 } ^{ 2021-k },\,0\leq k\leq 2021 $
Nên $ 2 ^ { 2021 } =2\left ( { C_{ 2021 } ^{ 0 }+C_{ 2021 } ^{ 1 }+C_{ 2021 } ^{ 2 }+C_{ 2021 } ^{ 3 }+\ldots +C_{ 2021 } ^{ 1009 }+C_{ 2021 } ^{ 1010 } } \right ) $.
$ \Rightarrow C_{ 2021 } ^{ 1 }+C_{ 2021 } ^{ 2 }+C_{ 2021 } ^{ 3 }+\ldots +C_{ 2021 } ^{ 1009 }+C_{ 2021 } ^{ 1010 }=2 ^ { 2020 } -1 $
Do đó $ \frac { 2 ^ { 2020 } -1 } { 2021! }=\frac { 2 ^ { 2020 } -2021m } { 2021! }\Leftrightarrow 1=2021m\Leftrightarrow m=\frac { 1 } { 2021 } $.
Vậy $ m=\frac { 1 } { 2021 } $.
Do đó $ \frac { 1 } { 1!2020! }+\frac { 1 } { 2!2019! }+\frac { 1 } { 3!2018! }+\ldots +\frac { 1 } { 1009!1012! }+\frac { 1 } { 1010!1011! } $
$ =\frac { C_{ 2021 } ^{ 1 } } { 2021! }+\frac { C_{ 2021 } ^{ 2 } } { 2021! }+\frac { C_{ 2021 } ^{ 3 } } { 2021! }+\ldots +\frac { C_{ 2021 } ^{ 1009 } } { 2021! }+\frac { C_{ 2021 } ^{ 1010 } } { 2021! }=\frac { C_{ 2021 } ^{ 1 }+C_{ 2021 } ^{ 2 }+C_{ 2021 } ^{ 3 }+\ldots +C_{ 2021 } ^{ 1009 }+C_{ 2021 } ^{ 1010 } } { 2021! } $
Xét khai triển $ \left ( { 1+x } \right ) ^ { 2021 } =C_{ 2021 } ^{ 0 }+C_{ 2021 } ^{ 1 }x+C_{ 2021 } ^{ 2 }x ^ { 2 } +C_{ 2021 } ^{ 3 }x ^ { 3 } +\ldots +C_{ 2021 } ^{ 2020 }x ^ { 2020 } +C_{ 2021 } ^{ 2021 }x ^ { 2021 } $.
Chọn $ x=1 $ thế vào khai triển ta được $ 2 ^ { 2021 } =C_{ 2021 } ^{ 0 }+C_{ 2021 } ^{ 1 }+C_{ 2021 } ^{ 2 }+C_{ 2021 } ^{ 3 }+\ldots +C_{ 2021 } ^{ 2020 }+C_{ 2021 } ^{ 2021 } $.
Vì $ C_{ 2021 } ^{ k }=C_{ 2021 } ^{ 2021-k },\,0\leq k\leq 2021 $
Nên $ 2 ^ { 2021 } =2\left ( { C_{ 2021 } ^{ 0 }+C_{ 2021 } ^{ 1 }+C_{ 2021 } ^{ 2 }+C_{ 2021 } ^{ 3 }+\ldots +C_{ 2021 } ^{ 1009 }+C_{ 2021 } ^{ 1010 } } \right ) $.
$ \Rightarrow C_{ 2021 } ^{ 1 }+C_{ 2021 } ^{ 2 }+C_{ 2021 } ^{ 3 }+\ldots +C_{ 2021 } ^{ 1009 }+C_{ 2021 } ^{ 1010 }=2 ^ { 2020 } -1 $
Do đó $ \frac { 2 ^ { 2020 } -1 } { 2021! }=\frac { 2 ^ { 2020 } -2021m } { 2021! }\Leftrightarrow 1=2021m\Leftrightarrow m=\frac { 1 } { 2021 } $.
Vậy $ m=\frac { 1 } { 2021 } $.