Bài tập nâng cao Nhị thức Newton · Bài 2

Điều kiện để biểu thức có nghĩa là $ x\geq 0 $.
Với điều kiện trên, ta có:
$ \left ( { 1+2\sqrt[] { x }-3\sqrt[3] { x } } \right ) ^ { 4 } =\left ( { 1+2\sqrt[6] { x ^ { 3 } }-3\sqrt[6] { x ^ { 2 } } } \right ) ^ { 4 } =\sum \limits_{ k=0 } ^ 4 { C_{ 4 } ^{ k }.\left ( { 2\sqrt[6] { x ^ { 3 } }-3\sqrt[6] { x ^ { 2 } } } \right ) } ^ { k } $
$ =\sum \limits_{ k=0 } ^ 4 { C_{ 4 } ^{ k }.\sum \limits_{ i=0 } ^ k { C_{ k } ^{ i } }2 ^ { k-i } .\left ( { -3 } \right ) ^ { i } .{ \rm{ } }\sqrt[6] { x ^ { 3k-i } } } $.
Mỗi số hạng trong khai triển khi chưa thu gọn có dạng $ C_{ 4 } ^{ k }.C_{ k } ^{ i }.2 ^ { k-i } .\left ( { -3 } \right ) ^ { i } \sqrt[6] { x ^ { 3k-i } }. $
Các số hạng chứa $ x $ trong khai triển ứng với $ 3k-i=6 $, trong đó $ \left \{ \begin{array}{l} 0\leq k\leq 4 \\ 0\leq i\leq k \\ i,k\in \mathbb{Z} \end{array} \right. $.
Ta lập bảng xác định $ i,k $ như sau:
k 0 1 2 3 4
i -6(loại) -3(loại) 0(tm) 3(tm) 6(loại)
Vậy khi thu gọn ta có số hạng chứa $ x $ trong khai triển là
$ C_{ 4 } ^{ 2 }.C_{ 2 } ^{ 0 }.2 ^ { 2 } .\left ( { -3 } \right ) ^ { 0 } x+C_{ 4 } ^{ 3 }.C_{ 3 } ^{ 3 }.2 ^ { 0 } .\left ( { -3 } \right ) ^ { 3 } x=-84x. $