Bài tập nâng cao · Bài 3
Bài tập nâng cao Nhị thức Newton · Bài 3
Xác định số $ n $ sao cho trong khai triển nhị thức $ \left ( { x+2 } \right ) ^ { n } $ hạng tử thứ 11 là hạng tử có hệ số lớn nhất?
Xem lời giải
Lời giải
Ta có: $ \left ( { x+2 } \right ) ^ { n } =\sum \limits_{ k=0 } ^ n { C_{ n } ^{ k }x ^ { n-k } 2 ^ { k } } $.
Hạng tử thứ 11 ứng với $ k=10 $, nên hệ số của hạng tử thứ 11 là $ 2 ^ { 10 } C_{ n } ^{ 10 } $.
Vì hạng tử thứ 11 là số hạng lớn nhất nên ta có:
$ \left \{ \begin{array}{l} 2 ^ { 10 } C_{ n } ^{ 10 }\geq 2 ^ { 9 } C_{ n } ^{ 9 } \\ 2 ^ { 10 } C_{ n } ^{ 10 }\geq 2 ^ { 11 } C_{ n } ^{ 11 } \end{array} \right.\Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{l} 2.\frac { n! } { 10!.\left ( { n-10 } \right )! }\geq \frac { n! } { 9!.\left ( { n-9 } \right )! } \\ \frac { n! } { 10!.\left ( { n-10 } \right )! }\geq 2.\frac { n! } { 11!.\left ( { n-11 } \right )! } \end{array} \right.\Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{l} n-9\geq 5 \\ 11\geq 2\left ( { n-10 } \right ) \end{array} \right.\Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{l} n\geq 14 \\ n\leq \frac { 31 } { 2 } \end{array} \right. $.
Do $ n\in \mathbb{N}\Rightarrow n=14 $ hoặc $ n=15 $.
Thử lại, ta thấy:
+ Với $ n=14 $ thì khai triển có hai hệ số lớn nhất là hệ số của hạng tử thứ 10 và thứ 11. Vì hạng tử thứ 11 vẫn có hệ số lớn nhất nên $n=14$ thỏa mãn.
+ Với $ n=15 $ thỏa mãn điều kiện đầu bài.
Vậy $n=14$ hoặc $n=15$.
Hạng tử thứ 11 ứng với $ k=10 $, nên hệ số của hạng tử thứ 11 là $ 2 ^ { 10 } C_{ n } ^{ 10 } $.
Vì hạng tử thứ 11 là số hạng lớn nhất nên ta có:
$ \left \{ \begin{array}{l} 2 ^ { 10 } C_{ n } ^{ 10 }\geq 2 ^ { 9 } C_{ n } ^{ 9 } \\ 2 ^ { 10 } C_{ n } ^{ 10 }\geq 2 ^ { 11 } C_{ n } ^{ 11 } \end{array} \right.\Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{l} 2.\frac { n! } { 10!.\left ( { n-10 } \right )! }\geq \frac { n! } { 9!.\left ( { n-9 } \right )! } \\ \frac { n! } { 10!.\left ( { n-10 } \right )! }\geq 2.\frac { n! } { 11!.\left ( { n-11 } \right )! } \end{array} \right.\Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{l} n-9\geq 5 \\ 11\geq 2\left ( { n-10 } \right ) \end{array} \right.\Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{l} n\geq 14 \\ n\leq \frac { 31 } { 2 } \end{array} \right. $.
Do $ n\in \mathbb{N}\Rightarrow n=14 $ hoặc $ n=15 $.
Thử lại, ta thấy:
+ Với $ n=14 $ thì khai triển có hai hệ số lớn nhất là hệ số của hạng tử thứ 10 và thứ 11. Vì hạng tử thứ 11 vẫn có hệ số lớn nhất nên $n=14$ thỏa mãn.
+ Với $ n=15 $ thỏa mãn điều kiện đầu bài.
Vậy $n=14$ hoặc $n=15$.