Bài tập nâng cao · Bài 4
Bài tập nâng cao Nhị thức Newton · Bài 4
Trong khai triển $ \left ( { x\sqrt[3] { x }+x ^ { -\frac { 28 } { 15 } } } \right ) ^ { n } $. Hãy tìm số hạng không phụ thuộc vào $ x $ biết $ C_{ n } ^{ n }+C_{ n } ^{ n-1 }+C_{ n } ^{ n-2 }=79 $.
Xem lời giải
Lời giải
$ C_{ n } ^{ n }+C_{ n } ^{ n-1 }+C_{ n } ^{ n-2 }=79 $ $ \left ( { 1 } \right ) $
Điều kiện: $ n\in \mathbb{N} ^ { * } $ và $ n\geq 2 $.
$ \left ( { 1 } \right ) $$ \Leftrightarrow 1+n+\frac { n\left ( { n-1 } \right ) } { 2 }=79 $$ \Leftrightarrow n ^ { 2 } +n-156=0 $$ \Leftrightarrow \left[ n=12\,\,\,\,\left ( { Nhận } \right ) \\ n=-13\left ( { Loại } \right ) \right. $.
$ \left ( { x\sqrt[3] { x }+x ^ { -\frac { 28 } { 15 } } } \right ) ^ { 12 } =\sum \limits_{ k=0 } ^ 12 { C_{ 12 } ^{ k }\left ( { x\sqrt[3] { x } } \right ) ^ { 12-k } \left ( { x ^ { -\frac { 28 } { 15 } } } \right ) ^ { k } } $$ =\sum \limits_{ k=0 } ^ 12 { C_{ 12 } ^{ k }x ^ { 16-\frac { 48k } { 15 } } } $.
Ta phải tìm $ k $ sao cho $ 16-\frac { 48k } { 15 }=0 $$ \Leftrightarrow k=5 $.
Số hạng không phụ thuộc vào $ x $ trong khai triển là $ C_{ 12 } ^{ 5 } $.
Điều kiện: $ n\in \mathbb{N} ^ { * } $ và $ n\geq 2 $.
$ \left ( { 1 } \right ) $$ \Leftrightarrow 1+n+\frac { n\left ( { n-1 } \right ) } { 2 }=79 $$ \Leftrightarrow n ^ { 2 } +n-156=0 $$ \Leftrightarrow \left[ n=12\,\,\,\,\left ( { Nhận } \right ) \\ n=-13\left ( { Loại } \right ) \right. $.
$ \left ( { x\sqrt[3] { x }+x ^ { -\frac { 28 } { 15 } } } \right ) ^ { 12 } =\sum \limits_{ k=0 } ^ 12 { C_{ 12 } ^{ k }\left ( { x\sqrt[3] { x } } \right ) ^ { 12-k } \left ( { x ^ { -\frac { 28 } { 15 } } } \right ) ^ { k } } $$ =\sum \limits_{ k=0 } ^ 12 { C_{ 12 } ^{ k }x ^ { 16-\frac { 48k } { 15 } } } $.
Ta phải tìm $ k $ sao cho $ 16-\frac { 48k } { 15 }=0 $$ \Leftrightarrow k=5 $.
Số hạng không phụ thuộc vào $ x $ trong khai triển là $ C_{ 12 } ^{ 5 } $.