Bài tập nâng cao · Bài 5
Bài tập nâng cao Nhị thức Newton · Bài 5
Xác định hệ số của $ x ^ { n } $ trong khai triển $ \left ( { 1+x+2x ^ { 2 } +\ldots +nx ^ { n } } \right ) ^ { 2 } $.
Xem lời giải
Lời giải
Hệ số của số hạng chứa $ x ^ { n } $ bằng $ 1.n+1.(n-1)+2(n-2)+\ldots +k(n-k)+\ldots +(n-1)1+n.1 $
$ =2n+1.(n-1)+2(n-2)+\ldots +k(n-k)+\ldots +(n-1)1 $
$ =2n+\left \{ \begin{array}{l} 1.(n-1)+2(n-2)+\ldots +k(n-k)+\ldots +(n-1)\left[ n-(n-1) \right] \end{array} \right \} $
$ =2n+n\left[ 1+2+\ldots +(n-1) \right]-\left[ 1 ^ { 2 } +2 ^ { 2 } +\ldots +\left ( { n-1 } \right ) ^ { 2 } \right] $
$ =2n+\frac { n(n-1)n } { 2 }-\frac { (n-1)n(2n-1) } { 6 }=\frac { n ^ { 3 } +11n } { 6 } $.
$ =2n+1.(n-1)+2(n-2)+\ldots +k(n-k)+\ldots +(n-1)1 $
$ =2n+\left \{ \begin{array}{l} 1.(n-1)+2(n-2)+\ldots +k(n-k)+\ldots +(n-1)\left[ n-(n-1) \right] \end{array} \right \} $
$ =2n+n\left[ 1+2+\ldots +(n-1) \right]-\left[ 1 ^ { 2 } +2 ^ { 2 } +\ldots +\left ( { n-1 } \right ) ^ { 2 } \right] $
$ =2n+\frac { n(n-1)n } { 2 }-\frac { (n-1)n(2n-1) } { 6 }=\frac { n ^ { 3 } +11n } { 6 } $.