Bài tập nâng cao · Bài 6
Bài tập nâng cao Nhị thức Newton · Bài 6
Biết tổng tất cả các hệ số của khai triển nhị thức: $ \left ( { x ^ { 2 } +1 } \right ) ^ { n } $bằng 1024, hãy tìm hệ số tự nhiên của số hạng $ a.x ^ { 12 } $ trong khai triển.
Xem lời giải
Lời giải
Ta có $ \left ( { x ^ { 2 } +1 } \right ) ^ { n } =C_{ n } ^{ 0 }x ^ { 2n } +C_{ n } ^{ 1 }x ^ { 2(n-1) } +\ldots +C_{ n } ^{ n-1 }x ^ { 2 } +C_{ n } ^{ n } $
Suy ra tổng tất cả các hệ số của khai triển là:$ C_{ n } ^{ 0 }+C_{ n } ^{ 1 }+\ldots +C_{ n } ^{ n } $
Mặt khác: $ C_{ n } ^{ 0 }+C_{ n } ^{ 1 }+\ldots +C_{ n } ^{ n }=2 ^ { n } \Leftrightarrow 2 ^ { n } =1024\Leftrightarrow n=10 $
$ P(x)=\left ( { x ^ { 2 } +1 } \right ) ^ { 10 } =\sum \limits_{ k=0 } ^ 10 { C_{ 10 } ^{ k }\left ( { x ^ { 2 } } \right ) ^ { 10-k } }=\sum \limits_{ k=0 } ^ 10 { C_{ 10 } ^{ k }x ^ { 20-2k } } $
Vậy hệ số của $ x ^ { 12 } $ trong khai triển đa thức của $ P(x) $ ứng với $ k=4 $
và hệ số đó là: $ C_{ 10 } ^{ 4 } $
Suy ra tổng tất cả các hệ số của khai triển là:$ C_{ n } ^{ 0 }+C_{ n } ^{ 1 }+\ldots +C_{ n } ^{ n } $
Mặt khác: $ C_{ n } ^{ 0 }+C_{ n } ^{ 1 }+\ldots +C_{ n } ^{ n }=2 ^ { n } \Leftrightarrow 2 ^ { n } =1024\Leftrightarrow n=10 $
$ P(x)=\left ( { x ^ { 2 } +1 } \right ) ^ { 10 } =\sum \limits_{ k=0 } ^ 10 { C_{ 10 } ^{ k }\left ( { x ^ { 2 } } \right ) ^ { 10-k } }=\sum \limits_{ k=0 } ^ 10 { C_{ 10 } ^{ k }x ^ { 20-2k } } $
Vậy hệ số của $ x ^ { 12 } $ trong khai triển đa thức của $ P(x) $ ứng với $ k=4 $
và hệ số đó là: $ C_{ 10 } ^{ 4 } $