Bài tập nâng cao · Bài 7
Bài tập nâng cao Nhị thức Newton · Bài 7
Khai triển đa thức $ P\left ( { x } \right )=\left ( { 1+2x } \right ) ^ { 12 } $ thành dạng $ P\left ( { x } \right )=a_{ o } +a_{ 1 } x+\ldots ..+a_{ 12 } x ^ { 12 } $.
Tìm $ max\left ( { a_{ 1 } ;a_{ 2 } ;\ldots .;a_{ 12 } } \right ) $.
Tìm $ max\left ( { a_{ 1 } ;a_{ 2 } ;\ldots .;a_{ 12 } } \right ) $.
Xem lời giải
Lời giải
Ta có: $ P\left ( { x } \right )=\left ( { 1+2x } \right ) ^ { 12 } =\sum \limits_{ k=0 } ^ 12 { C_{ 12 } ^{ k }.2 ^ { k } .x ^ { k } }\Rightarrow a_{ k } =C_{ 12 } ^{ k }.2 ^ { k } \quad \left ( { k\in \mathbb{N},\ 0\leq k\leq 12 } \right ) $.
Với $ 0\leq k\leq 11 $, ta có $ \frac { a_{ k } } { a_{ k+1 } }=\frac { k+1 } { 24-2k } $.
$ \frac { a_{ k } } { a_{ k+1 } }\leq 1\Leftrightarrow \frac { C_{ 12 } ^{ k }.2 ^ { k } } { C_{ 12 } ^{ k+1 }.2 ^ { k+1 } }\leq 1\Leftrightarrow \frac { k+1 } { 24-2k }\leq 1\Leftrightarrow k\leq \frac { 23 } { 3 } $.
Vì $ k\in \mathbb{Z} $: $ \frac { a_{ k } } { a_{ k+1 } }\leq 1\Rightarrow k\in \left \{ \begin{array}{l} 1\ ;\ 2\ ;\ 3\ ;\ 4\ ;\ 5\ ;\ 6\ ;\ 7 \end{array} \right \} $.
$ \frac { a_{ k } } { a_{ k+1 } }\geq 1\Rightarrow k\in \left \{ \begin{array}{l} 8\ ;\ 9\ ;\ 10\ ;\ 11\ ;\ 12 \end{array} \right \} $
Suy ra: $ a_{ 1 } \leq a_{ 2 } \leq \ldots .\leq a_{ 8 } \geq a_{ 9 } \geq \ldots .\geq a_{ 12 } $.
Vậy $ max\left ( { a_{ 1 } ;a_{ 2 } ;\ldots .;a_{ 12 } } \right )=a_{ 8 } =126720 $.
Với $ 0\leq k\leq 11 $, ta có $ \frac { a_{ k } } { a_{ k+1 } }=\frac { k+1 } { 24-2k } $.
$ \frac { a_{ k } } { a_{ k+1 } }\leq 1\Leftrightarrow \frac { C_{ 12 } ^{ k }.2 ^ { k } } { C_{ 12 } ^{ k+1 }.2 ^ { k+1 } }\leq 1\Leftrightarrow \frac { k+1 } { 24-2k }\leq 1\Leftrightarrow k\leq \frac { 23 } { 3 } $.
Vì $ k\in \mathbb{Z} $: $ \frac { a_{ k } } { a_{ k+1 } }\leq 1\Rightarrow k\in \left \{ \begin{array}{l} 1\ ;\ 2\ ;\ 3\ ;\ 4\ ;\ 5\ ;\ 6\ ;\ 7 \end{array} \right \} $.
$ \frac { a_{ k } } { a_{ k+1 } }\geq 1\Rightarrow k\in \left \{ \begin{array}{l} 8\ ;\ 9\ ;\ 10\ ;\ 11\ ;\ 12 \end{array} \right \} $
Suy ra: $ a_{ 1 } \leq a_{ 2 } \leq \ldots .\leq a_{ 8 } \geq a_{ 9 } \geq \ldots .\geq a_{ 12 } $.
Vậy $ max\left ( { a_{ 1 } ;a_{ 2 } ;\ldots .;a_{ 12 } } \right )=a_{ 8 } =126720 $.