Bài tập nâng cao · Bài 8
Bài tập nâng cao Nhị thức Newton · Bài 8
Tổng tất cả các hệ số của khai triển $ \left ( { 4x-5 } \right ) ^ { 2020 } $ là:
Xem lời giải
Lời giải
Theo khai triển nhị thức Niu-Tơn ta có
$ \left ( { 4x-5 } \right ) ^ { 2020 } =C_{ 2020 } ^{ 0 }\left ( { 4x } \right ) ^ { 2020 } +C_{ 2020 } ^{ 1 }\left ( { 4x } \right ) ^ { 2019 } \left ( { -5 } \right )+C_{ 2020 } ^{ 2 }\left ( { 4x } \right ) ^ { 2018 } \left ( { -5 } \right ) ^ { 2 } + \\ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,+C_{ 2020 } ^{ 3 }\left ( { 4x } \right ) ^ { 2017 } \left ( { -5 } \right ) ^ { 3 } +\ldots +\left ( { -1 } \right ) ^ { k } C_{ 2020 } ^{ k }\left ( { 4x } \right ) ^ { 2020-k } \left ( { -5 } \right ) ^ { k } +\ldots +C_{ 2020 } ^{ 2020 }\left ( { -5 } \right ) ^ { 2020 } \\ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,=C_{ 2020 } ^{ 0 }\left ( { 4x } \right ) ^ { 2020 } -C_{ 2020 } ^{ 1 }\left ( { 4x } \right ) ^ { 2019 } \left ( { 5 } \right )+C_{ 2020 } ^{ 2 }\left ( { 4x } \right ) ^ { 2018 } \left ( { 5 } \right ) ^ { 2 } - \\ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,-C_{ 2020 } ^{ 3 }\left ( { 4x } \right ) ^ { 2017 } \left ( { 5 } \right ) ^ { 3 } +\ldots +\left ( { -1 } \right ) ^ { k } C_{ 2020 } ^{ k }\left ( { 4x } \right ) ^ { 2020-k } \left ( { -5 } \right ) ^ { k } +\ldots +C_{ 2020 } ^{ 2020 }\left ( { 5 } \right ) ^ { 2020 } \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left ( { 1 } \right ) $
Cho $ x=1 $khai triển $ \left ( { 1 } \right ) $trở thành
$ 1=\left ( { 4-5 } \right ) ^ { 2020 } =C_{ 2020 } ^{ 0 }\left ( { 4 } \right ) ^ { 2020 } -C_{ 2020 } ^{ 1 }\left ( { 4 } \right ) ^ { 2019 } \left ( { 5 } \right )+C_{ 2020 } ^{ 2 }\left ( { 4 } \right ) ^ { 2018 } \left ( { 5 } \right ) ^ { 2 } -C_{ 2020 } ^{ 3 }\left ( { 4 } \right ) ^ { 2017 } \left ( { 5 } \right ) ^ { 3 } +\ldots . \\ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,+C_{ 2020 } ^{ k }\left ( { 4 } \right ) ^ { 2020-k } \left ( { 5 } \right ) ^ { k } +\ldots +C_{ 2020 } ^{ 2020 }\left ( { 5 } \right ) ^ { 2020 } $
Vậy tổng tất cả các hệ số của khai triển $ \left ( { 4x-5 } \right ) ^ { 2020 } $ là $ 1 $.
$ \left ( { 4x-5 } \right ) ^ { 2020 } =C_{ 2020 } ^{ 0 }\left ( { 4x } \right ) ^ { 2020 } +C_{ 2020 } ^{ 1 }\left ( { 4x } \right ) ^ { 2019 } \left ( { -5 } \right )+C_{ 2020 } ^{ 2 }\left ( { 4x } \right ) ^ { 2018 } \left ( { -5 } \right ) ^ { 2 } + \\ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,+C_{ 2020 } ^{ 3 }\left ( { 4x } \right ) ^ { 2017 } \left ( { -5 } \right ) ^ { 3 } +\ldots +\left ( { -1 } \right ) ^ { k } C_{ 2020 } ^{ k }\left ( { 4x } \right ) ^ { 2020-k } \left ( { -5 } \right ) ^ { k } +\ldots +C_{ 2020 } ^{ 2020 }\left ( { -5 } \right ) ^ { 2020 } \\ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,=C_{ 2020 } ^{ 0 }\left ( { 4x } \right ) ^ { 2020 } -C_{ 2020 } ^{ 1 }\left ( { 4x } \right ) ^ { 2019 } \left ( { 5 } \right )+C_{ 2020 } ^{ 2 }\left ( { 4x } \right ) ^ { 2018 } \left ( { 5 } \right ) ^ { 2 } - \\ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,-C_{ 2020 } ^{ 3 }\left ( { 4x } \right ) ^ { 2017 } \left ( { 5 } \right ) ^ { 3 } +\ldots +\left ( { -1 } \right ) ^ { k } C_{ 2020 } ^{ k }\left ( { 4x } \right ) ^ { 2020-k } \left ( { -5 } \right ) ^ { k } +\ldots +C_{ 2020 } ^{ 2020 }\left ( { 5 } \right ) ^ { 2020 } \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left ( { 1 } \right ) $
Cho $ x=1 $khai triển $ \left ( { 1 } \right ) $trở thành
$ 1=\left ( { 4-5 } \right ) ^ { 2020 } =C_{ 2020 } ^{ 0 }\left ( { 4 } \right ) ^ { 2020 } -C_{ 2020 } ^{ 1 }\left ( { 4 } \right ) ^ { 2019 } \left ( { 5 } \right )+C_{ 2020 } ^{ 2 }\left ( { 4 } \right ) ^ { 2018 } \left ( { 5 } \right ) ^ { 2 } -C_{ 2020 } ^{ 3 }\left ( { 4 } \right ) ^ { 2017 } \left ( { 5 } \right ) ^ { 3 } +\ldots . \\ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,+C_{ 2020 } ^{ k }\left ( { 4 } \right ) ^ { 2020-k } \left ( { 5 } \right ) ^ { k } +\ldots +C_{ 2020 } ^{ 2020 }\left ( { 5 } \right ) ^ { 2020 } $
Vậy tổng tất cả các hệ số của khai triển $ \left ( { 4x-5 } \right ) ^ { 2020 } $ là $ 1 $.