Bài tập nâng cao · Bài 15
Bài tập nâng cao Nhị thức Newton · Bài 15
Tổng $ S=\frac { 1 } { 2019 }\left ( { 2.3C_{ 2019 } ^{ 2 }+3.3 ^ { 2 } C_{ 2019 } ^{ 3 }+4.3 ^ { 3 } C_{ 2019 } ^{ 4 }+\cdots +2019.3 ^ { 2018 } C_{ 2019 } ^{ 2019 } } \right ) $bằng:
Xem lời giải
Lời giải
Xét khai triển: $ P\left ( { x } \right )=\left ( { 1+x } \right ) ^ { 2019 } =C_{ 2019 } ^{ 0 }+C_{ 2019 } ^{ 1 }x+C_{ 2019 } ^{ 2 }x ^ { 2 } +C_{ 2019 } ^{ 3 }x ^ { 3 } +C_{ 2019 } ^{ 4 }x ^ { 4 } +\cdots +C_{ 2019 } ^{ 2019 }x ^ { 2019 } $.
Lấy đạo hàm hai vế ta được:
$ 2019\left ( { 1+x } \right ) ^ { 2018 } =C_{ 2019 } ^{ 1 }+2C_{ 2019 } ^{ 2 }x+3C_{ 2019 } ^{ 3 }x ^ { 2 } +4C_{ 2019 } ^{ 4 }x ^ { 3 } +\cdots +2019C_{ 2019 } ^{ 2019 }x ^ { 2018 } $.
Cho $ x=3 $ ta được:
$ 2019.4 ^ { 2018 } =C_{ 2019 } ^{ 1 }+2.3C_{ 2019 } ^{ 2 }+3.3 ^ { 2 } C_{ 2019 } ^{ 3 }+4.3 ^ { 3 } C_{ 2019 } ^{ 4 }+\cdots +2019.3 ^ { 2018 } C_{ 2019 } ^{ 2019 } $.
$ \Leftrightarrow 2019.4 ^ { 2018 } -C_{ 2019 } ^{ 1 }=2.3C_{ 2019 } ^{ 2 }+3.3 ^ { 2 } C_{ 2019 } ^{ 3 }+4.3 ^ { 3 } C_{ 2019 } ^{ 4 }+\cdots +2019.3 ^ { 2018 } C_{ 2019 } ^{ 2019 } $
$ \Leftrightarrow \frac { 1 } { 2019 }\left ( { 2019.4 ^ { 2018 } -2019 } \right )=\frac { 1 } { 2019 }\left ( { 2.3C_{ 2019 } ^{ 2 }+3.3 ^ { 2 } C_{ 2019 } ^{ 3 }+4.3 ^ { 3 } C_{ 2019 } ^{ 4 }+\cdots +2019.3 ^ { 2018 } C_{ 2019 } ^{ 2019 } } \right ) $.
$ \Leftrightarrow S=4 ^ { 2018 } -1 $.
Lấy đạo hàm hai vế ta được:
$ 2019\left ( { 1+x } \right ) ^ { 2018 } =C_{ 2019 } ^{ 1 }+2C_{ 2019 } ^{ 2 }x+3C_{ 2019 } ^{ 3 }x ^ { 2 } +4C_{ 2019 } ^{ 4 }x ^ { 3 } +\cdots +2019C_{ 2019 } ^{ 2019 }x ^ { 2018 } $.
Cho $ x=3 $ ta được:
$ 2019.4 ^ { 2018 } =C_{ 2019 } ^{ 1 }+2.3C_{ 2019 } ^{ 2 }+3.3 ^ { 2 } C_{ 2019 } ^{ 3 }+4.3 ^ { 3 } C_{ 2019 } ^{ 4 }+\cdots +2019.3 ^ { 2018 } C_{ 2019 } ^{ 2019 } $.
$ \Leftrightarrow 2019.4 ^ { 2018 } -C_{ 2019 } ^{ 1 }=2.3C_{ 2019 } ^{ 2 }+3.3 ^ { 2 } C_{ 2019 } ^{ 3 }+4.3 ^ { 3 } C_{ 2019 } ^{ 4 }+\cdots +2019.3 ^ { 2018 } C_{ 2019 } ^{ 2019 } $
$ \Leftrightarrow \frac { 1 } { 2019 }\left ( { 2019.4 ^ { 2018 } -2019 } \right )=\frac { 1 } { 2019 }\left ( { 2.3C_{ 2019 } ^{ 2 }+3.3 ^ { 2 } C_{ 2019 } ^{ 3 }+4.3 ^ { 3 } C_{ 2019 } ^{ 4 }+\cdots +2019.3 ^ { 2018 } C_{ 2019 } ^{ 2019 } } \right ) $.
$ \Leftrightarrow S=4 ^ { 2018 } -1 $.