Bài tập nâng cao · Bài 16
Bài tập nâng cao Nhị thức Newton · Bài 16
Xét khai triển $ \left ( { 1+x } \right )\left ( { 1+2x } \right )\left ( { 1+3x } \right )\ldots \left ( { 1+2019x } \right )=a_{ 0 } +a_{ 1 } x+a_{ 2 } x ^ { 2 } +a_{ 3 } x ^ { 3 } +\ldots +a_{ 2019 } x ^ { 2019 } . $Tính $ S=2a_{ 2 } +\left ( { 1 ^ { 2 } +2 ^ { 2 } +\ldots +2019 ^ { 2 } } \right ). $
Xem lời giải
Lời giải
Ta có: $ \left ( { a_{ 1 } +a_{ 2 } +\ldots +a_{ n } } \right ) ^ { 2 } =\sum \limits_{ k=1 } ^ n { a_{ k } ^{ 2 } }+2\sum \limits_{ i,j=1;i\neq j } ^ n { a_{ i } a_{ j } }. $
$ \left ( { 1+x } \right )\left ( { 1+2x } \right )\left ( { 1+3x } \right )\ldots \left ( { 1+2019x } \right )=a_{ 0 } +a_{ 1 } x+a_{ 2 } x ^ { 2 } +a_{ 3 } x ^ { 3 } +\ldots +a_{ 2019 } x ^ { 2019 } \,\,\,\,\left ( { * } \right ). $
Hệ số của $ x ^ { 2 } $ trong khai triển $ \left ( { * } \right ) $ là $ a_{ 2 } =\sum \limits_{ i,j=1;\,i\neq j } ^ 2019 { i.j } $.
Khi đó: $ S=2a_{ 2 } +\left ( { 1 ^ { 2 } +2 ^ { 2 } +\ldots +2019 ^ { 2 } } \right ) $
$ =2\sum \limits_{ i,j=1;\,i\neq j } ^ 2019 { i.j }+1 ^ { 2 } +2 ^ { 2 } +\ldots +2019 ^ { 2 } =\left ( { 1+2+\ldots +2019 } \right ) ^ { 2 } =\left ( { \frac { 2019.2020 } { 2 } } \right ) ^ { 2 } . $
Vậy $ S=\left ( { \frac { 2019.2020 } { 2 } } \right ) ^ { 2 } . $
$ \left ( { 1+x } \right )\left ( { 1+2x } \right )\left ( { 1+3x } \right )\ldots \left ( { 1+2019x } \right )=a_{ 0 } +a_{ 1 } x+a_{ 2 } x ^ { 2 } +a_{ 3 } x ^ { 3 } +\ldots +a_{ 2019 } x ^ { 2019 } \,\,\,\,\left ( { * } \right ). $
Hệ số của $ x ^ { 2 } $ trong khai triển $ \left ( { * } \right ) $ là $ a_{ 2 } =\sum \limits_{ i,j=1;\,i\neq j } ^ 2019 { i.j } $.
Khi đó: $ S=2a_{ 2 } +\left ( { 1 ^ { 2 } +2 ^ { 2 } +\ldots +2019 ^ { 2 } } \right ) $
$ =2\sum \limits_{ i,j=1;\,i\neq j } ^ 2019 { i.j }+1 ^ { 2 } +2 ^ { 2 } +\ldots +2019 ^ { 2 } =\left ( { 1+2+\ldots +2019 } \right ) ^ { 2 } =\left ( { \frac { 2019.2020 } { 2 } } \right ) ^ { 2 } . $
Vậy $ S=\left ( { \frac { 2019.2020 } { 2 } } \right ) ^ { 2 } . $