Bài tập nâng cao · Bài 17
Bài tập nâng cao Nhị thức Newton · Bài 17
Tính tổng
$ S=\frac { 1 } { 2020 }\left ( { C_{ 2020 } ^{ 1 } } \right ) ^ { 2 } +\frac { 2 } { 2019 }\left ( { C_{ 2020 } ^{ 2 } } \right ) ^ { 2 } +\frac { 3 } { 2018 }\left ( { C_{ 2020 } ^{ 3 } } \right ) ^ { 2 } +\ldots +\frac { 2019 } { 2 }\left ( { C_{ 2020 } ^{ 2019 } } \right ) ^ { 2 } +\frac { 2020 } { 1 }\left ( { C_{ 2020 } ^{ 2020 } } \right ) ^ { 2 } . $
$ S=\frac { 1 } { 2020 }\left ( { C_{ 2020 } ^{ 1 } } \right ) ^ { 2 } +\frac { 2 } { 2019 }\left ( { C_{ 2020 } ^{ 2 } } \right ) ^ { 2 } +\frac { 3 } { 2018 }\left ( { C_{ 2020 } ^{ 3 } } \right ) ^ { 2 } +\ldots +\frac { 2019 } { 2 }\left ( { C_{ 2020 } ^{ 2019 } } \right ) ^ { 2 } +\frac { 2020 } { 1 }\left ( { C_{ 2020 } ^{ 2020 } } \right ) ^ { 2 } . $
Xem lời giải
Lời giải
Với $ k\in \mathbb{Z},\,1\leq k\leq 2020 $, ta xét:
$ \frac { k } { 2021-k }\left ( { C_{ 2020 } ^{ k } } \right ) ^ { 2 } =\frac { k } { 2021-k }\cdot \frac { 2020! } { \left ( { 2020-k } \right )!.k! }C_{ 2020 } ^{ k } \\ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,=\frac { 2020! } { \left[ 2020-\left ( { k-1 } \right ) \right]!.\left ( { k-1 } \right )! }C_{ 2020 } ^{ k }=C_{ 2020 } ^{ k-1 }C_{ 2020 } ^{ k }. $
Khi đó: $ S=C_{ 2020 } ^{ 0 }C_{ 2020 } ^{ 1 }+C_{ 2020 } ^{ 1 }C_{ 2020 } ^{ 2 }+\ldots +C_{ 2020 } ^{ 2019 }C_{ 2020 } ^{ 2020 }. $
+ Xét: $ \left ( { 1+x } \right ) ^ { 2020 } .\left ( { x+1 } \right ) ^ { 2020 } =\left ( { C_{ 2020 } ^{ 0 }+C_{ 2020 } ^{ 1 }x+\ldots +C_{ 2020 } ^{ 2020 }x ^ { 2020 } } \right )\left ( { C_{ 2020 } ^{ 0 }x ^ { 2020 } +C_{ 2020 } ^{ 1 }x ^ { 2019 } +\ldots +C_{ 2020 } ^{ 2020 } } \right )\,\,\left ( { * } \right ) $
Hệ số của $ x ^ { 2019 } $ trong khai triển $ \left ( { * } \right ) $ là: $ C_{ 2020 } ^{ 0 }C_{ 2020 } ^{ 1 }+C_{ 2020 } ^{ 1 }C_{ 2020 } ^{ 2 }+\ldots +C_{ 2020 } ^{ 2019 }C_{ 2020 } ^{ 2020 }. $
+ Xét: $ \left ( { 1+x } \right ) ^ { 2040 } =C_{ 2040 } ^{ 0 }+C_{ 2040 } ^{ 1 }x+\ldots +C_{ 2040 } ^{ 2019 }x ^ { 2019 } +\ldots +C_{ 2040 } ^{ 2040 }x ^ { 2040 } \,\left ( { ** } \right ) $
Hệ số của $ x ^ { 2019 } $ trong khai triển $ \left ( { ** } \right ) $ là: $ C_{ 2040 } ^{ 2019 }. $
Mà: $ \left ( { 1+x } \right ) ^ { 2020 } .\left ( { x+1 } \right ) ^ { 2020 } =\left ( { 1+x } \right ) ^ { 2040 } $
Đồng nhất hệ số của $ x ^ { 2019 } $ ta được: $ C_{ 2020 } ^{ 0 }C_{ 2020 } ^{ 1 }+C_{ 2020 } ^{ 1 }C_{ 2020 } ^{ 2 }+\ldots +C_{ 2020 } ^{ 2019 }C_{ 2020 } ^{ 2020 }=C_{ 2040 } ^{ 2019 }. $
Vậy $ S=C_{ 2040 } ^{ 2019 } $.
$ \frac { k } { 2021-k }\left ( { C_{ 2020 } ^{ k } } \right ) ^ { 2 } =\frac { k } { 2021-k }\cdot \frac { 2020! } { \left ( { 2020-k } \right )!.k! }C_{ 2020 } ^{ k } \\ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,=\frac { 2020! } { \left[ 2020-\left ( { k-1 } \right ) \right]!.\left ( { k-1 } \right )! }C_{ 2020 } ^{ k }=C_{ 2020 } ^{ k-1 }C_{ 2020 } ^{ k }. $
Khi đó: $ S=C_{ 2020 } ^{ 0 }C_{ 2020 } ^{ 1 }+C_{ 2020 } ^{ 1 }C_{ 2020 } ^{ 2 }+\ldots +C_{ 2020 } ^{ 2019 }C_{ 2020 } ^{ 2020 }. $
+ Xét: $ \left ( { 1+x } \right ) ^ { 2020 } .\left ( { x+1 } \right ) ^ { 2020 } =\left ( { C_{ 2020 } ^{ 0 }+C_{ 2020 } ^{ 1 }x+\ldots +C_{ 2020 } ^{ 2020 }x ^ { 2020 } } \right )\left ( { C_{ 2020 } ^{ 0 }x ^ { 2020 } +C_{ 2020 } ^{ 1 }x ^ { 2019 } +\ldots +C_{ 2020 } ^{ 2020 } } \right )\,\,\left ( { * } \right ) $
Hệ số của $ x ^ { 2019 } $ trong khai triển $ \left ( { * } \right ) $ là: $ C_{ 2020 } ^{ 0 }C_{ 2020 } ^{ 1 }+C_{ 2020 } ^{ 1 }C_{ 2020 } ^{ 2 }+\ldots +C_{ 2020 } ^{ 2019 }C_{ 2020 } ^{ 2020 }. $
+ Xét: $ \left ( { 1+x } \right ) ^ { 2040 } =C_{ 2040 } ^{ 0 }+C_{ 2040 } ^{ 1 }x+\ldots +C_{ 2040 } ^{ 2019 }x ^ { 2019 } +\ldots +C_{ 2040 } ^{ 2040 }x ^ { 2040 } \,\left ( { ** } \right ) $
Hệ số của $ x ^ { 2019 } $ trong khai triển $ \left ( { ** } \right ) $ là: $ C_{ 2040 } ^{ 2019 }. $
Mà: $ \left ( { 1+x } \right ) ^ { 2020 } .\left ( { x+1 } \right ) ^ { 2020 } =\left ( { 1+x } \right ) ^ { 2040 } $
Đồng nhất hệ số của $ x ^ { 2019 } $ ta được: $ C_{ 2020 } ^{ 0 }C_{ 2020 } ^{ 1 }+C_{ 2020 } ^{ 1 }C_{ 2020 } ^{ 2 }+\ldots +C_{ 2020 } ^{ 2019 }C_{ 2020 } ^{ 2020 }=C_{ 2040 } ^{ 2019 }. $
Vậy $ S=C_{ 2040 } ^{ 2019 } $.