Bài tập nâng cao · Bài 18
Bài tập nâng cao Nhị thức Newton · Bài 18
Cho khai triển $ \left ( { \frac { x ^ { 2 } -2x+2 } { x-1 } } \right ) ^ { 2020 } =a_{ 0 } +a_{ 1 } x+\ldots +a_{ 2020 } x ^ { 2020 } +\frac { b_{ 1 } } { \left ( { x-1 } \right ) }+\frac { b_{ 2 } } { \left ( { x-1 } \right ) ^ { 2 } }+\ldots +\frac { b_{ 2020 } } { \left ( { x-1 } \right ) ^ { 2020 } }, $
(với $ x\neq 1 $). Tính tổng: $ S=\sum \limits_{ k=1 } ^ 2020 { b_{ k } } $.
(với $ x\neq 1 $). Tính tổng: $ S=\sum \limits_{ k=1 } ^ 2020 { b_{ k } } $.
Xem lời giải
Lời giải
$ \left ( { \frac { x ^ { 2 } -2x+2 } { x-1 } } \right ) ^ { 2020 } =a_{ 0 } +a_{ 1 } x+\ldots +a_{ 2020 } x ^ { 2020 } +\frac { b_{ 1 } } { \left ( { x-1 } \right ) }+\frac { b_{ 2 } } { \left ( { x-1 } \right ) ^ { 2 } }+\ldots +\frac { b_{ 2020 } } { \left ( { x-1 } \right ) ^ { 2020 } }\,\,\,\,\left ( { 1 } \right ) $
+) Thay $ x=0 $ vào khai triển $ \left ( { 1 } \right ) $ ta được: $ 2 ^ { 2020 } =a_{ 0 } -b_{ 1 } +b_{ 2 } -b_{ 3 } +b_{ 4 } -\ldots -b_{ 2019 } +b_{ 2020 } \,\,\,\left ( { * } \right ). $
+) Ta có:
$ \left ( { \frac { x ^ { 2 } -2x+2 } { x-1 } } \right ) ^ { 2020 } =\left ( { x-1+\frac { 1 } { x-1 } } \right ) ^ { 2020 } =\sum \limits_{ k=0 } ^ 2020 { C_{ 2020 } ^{ k } }\left ( { x-1 } \right ) ^ { 2020-2k } \\ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,=\sum \limits_{ k=0 } ^ 1010 { C_{ 2020 } ^{ k } }\left ( { x-1 } \right ) ^ { 2020-2k } +\sum \limits_{ k=1011 } ^ 2020 { \frac { C_{ 2020 } ^{ k } } { \left ( { x-1 } \right ) ^ { 2k-2020 } } }. $
Vì $ 2k-2020=2i\,\,\,\left ( { i\in \mathbb{Z} } \right ) $ suy ra $ b_{ 1 } =b_{ 3 } =b_{ 5 } =\ldots =b_{ 2019 } =0. $
$ S=\sum \limits_{ k=1 } ^ 2020 { b_{ k } }=b_{ 2 } +b_{ 4 } +b_{ 6 } +\ldots +b_{ 2020 } =C_{ 2020 } ^{ 2011 }+C_{ 2020 } ^{ 2012 }+C_{ 2020 } ^{ 2013 }+\ldots +C_{ 2020 } ^{ 2020 }. $
$ a_{ 0 } =C_{ 2020 } ^{ 0 }+C_{ 2020 } ^{ 1 }+C_{ 2020 } ^{ 2 }+\ldots +C_{ 2020 } ^{ 1009 }+C_{ 2020 } ^{ 1010 } \\ \,\,\,\,\,\,=C_{ 2020 } ^{ 2020 }+C_{ 2020 } ^{ 2019 }+C_{ 2020 } ^{ 2018 }+\ldots +C_{ 2020 } ^{ 1011 }+C_{ 2020 } ^{ 1010 }=S+C_{ 2020 } ^{ 1010 }. $
Mặt khác từ $ \left ( { * } \right ):\,\,2 ^ { 2020 } =a_{ 0 } -b_{ 1 } +b_{ 2 } -b_{ 3 } +b_{ 4 } -\ldots -b_{ 2019 } +b_{ 2020 } $
$ =a_{ 0 } +b_{ 2 } +b_{ 4 } \ldots +b_{ 2020 } \\ =a_{ 0 } +S=2S+C_{ 2020 } ^{ 1010 } $
$ \Rightarrow S=2 ^ { 2019 } -\frac { 1 } { 2 }C_{ 2020 } ^{ 1010 }. $
Vậy: $ S=2 ^ { 2019 } -\frac { 1 } { 2 }C_{ 2020 } ^{ 1010 }. $
+) Thay $ x=0 $ vào khai triển $ \left ( { 1 } \right ) $ ta được: $ 2 ^ { 2020 } =a_{ 0 } -b_{ 1 } +b_{ 2 } -b_{ 3 } +b_{ 4 } -\ldots -b_{ 2019 } +b_{ 2020 } \,\,\,\left ( { * } \right ). $
+) Ta có:
$ \left ( { \frac { x ^ { 2 } -2x+2 } { x-1 } } \right ) ^ { 2020 } =\left ( { x-1+\frac { 1 } { x-1 } } \right ) ^ { 2020 } =\sum \limits_{ k=0 } ^ 2020 { C_{ 2020 } ^{ k } }\left ( { x-1 } \right ) ^ { 2020-2k } \\ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,=\sum \limits_{ k=0 } ^ 1010 { C_{ 2020 } ^{ k } }\left ( { x-1 } \right ) ^ { 2020-2k } +\sum \limits_{ k=1011 } ^ 2020 { \frac { C_{ 2020 } ^{ k } } { \left ( { x-1 } \right ) ^ { 2k-2020 } } }. $
Vì $ 2k-2020=2i\,\,\,\left ( { i\in \mathbb{Z} } \right ) $ suy ra $ b_{ 1 } =b_{ 3 } =b_{ 5 } =\ldots =b_{ 2019 } =0. $
$ S=\sum \limits_{ k=1 } ^ 2020 { b_{ k } }=b_{ 2 } +b_{ 4 } +b_{ 6 } +\ldots +b_{ 2020 } =C_{ 2020 } ^{ 2011 }+C_{ 2020 } ^{ 2012 }+C_{ 2020 } ^{ 2013 }+\ldots +C_{ 2020 } ^{ 2020 }. $
$ a_{ 0 } =C_{ 2020 } ^{ 0 }+C_{ 2020 } ^{ 1 }+C_{ 2020 } ^{ 2 }+\ldots +C_{ 2020 } ^{ 1009 }+C_{ 2020 } ^{ 1010 } \\ \,\,\,\,\,\,=C_{ 2020 } ^{ 2020 }+C_{ 2020 } ^{ 2019 }+C_{ 2020 } ^{ 2018 }+\ldots +C_{ 2020 } ^{ 1011 }+C_{ 2020 } ^{ 1010 }=S+C_{ 2020 } ^{ 1010 }. $
Mặt khác từ $ \left ( { * } \right ):\,\,2 ^ { 2020 } =a_{ 0 } -b_{ 1 } +b_{ 2 } -b_{ 3 } +b_{ 4 } -\ldots -b_{ 2019 } +b_{ 2020 } $
$ =a_{ 0 } +b_{ 2 } +b_{ 4 } \ldots +b_{ 2020 } \\ =a_{ 0 } +S=2S+C_{ 2020 } ^{ 1010 } $
$ \Rightarrow S=2 ^ { 2019 } -\frac { 1 } { 2 }C_{ 2020 } ^{ 1010 }. $
Vậy: $ S=2 ^ { 2019 } -\frac { 1 } { 2 }C_{ 2020 } ^{ 1010 }. $