Bài tập nâng cao · Bài 19
Bài tập nâng cao Nhị thức Newton · Bài 19
Tính tổng $ T=\left ( { C_{ n } ^{ 0 } } \right ) ^ { 2 } +\left ( { C_{ n } ^{ 1 } } \right ) ^ { 2 } +\cdot \cdot \cdot +\left ( { C_{ n } ^{ n } } \right ) ^ { 2 } $ theo số nguyên dương $ n $.
Xem lời giải
Lời giải
Ta có:
$ \left ( { 1+x } \right ) ^ { n } \left ( { 1+x } \right ) ^ { n } =\left ( { 1+x } \right ) ^ { 2n } $$ \left ( { * } \right ) $.
$ \left ( { 1+x } \right ) ^ { n } \left ( { 1+x } \right ) ^ { n } =\left ( { \sum \limits_{ k=0 } ^ n { C_{ n } ^{ k }x ^ { k } } } \right ).\left ( { \sum \limits_{ l=0 } ^ n { C_{ n } ^{ l }x ^ { l } } } \right ) $ và $ \left ( { 1+x } \right ) ^ { 2n } =\sum \limits_{ i=0 } ^ 2n { C_{ 2n } ^{ i }x ^ { i } } $.
Xét hệ số của $ x ^ { n } $ trong khai triển vế trái của $ \left ( { * } \right ) $ là $ \sum \limits_{ k+l=n } { C_{ n } ^{ k }.C_{ n } ^{ l } }=\sum \limits_{ k=0 } ^ n { C_{ n } ^{ k }.C_{ n } ^{ n-k } }=\sum \limits_{ k=0 } ^ n { \left ( { C_{ n } ^{ k } } \right ) ^ { 2 } } $.
Hệ số của $ x ^ { n } $ trong khai triển vế phải của $ \left ( { * } \right ) $ là $ C_{ 2n } ^{ n } $.
Từ đó suy ra $ \sum \limits_{ k=0 } ^ n { \left ( { C_{ n } ^{ k } } \right ) ^ { 2 } }=\left ( { C_{ n } ^{ 0 } } \right ) ^ { 2 } +\left ( { C_{ n } ^{ 1 } } \right ) ^ { 2 } +\cdot \cdot \cdot +\left ( { C_{ n } ^{ n } } \right ) ^ { 2 } =C_{ 2n } ^{ n } $.
$ \left ( { 1+x } \right ) ^ { n } \left ( { 1+x } \right ) ^ { n } =\left ( { 1+x } \right ) ^ { 2n } $$ \left ( { * } \right ) $.
$ \left ( { 1+x } \right ) ^ { n } \left ( { 1+x } \right ) ^ { n } =\left ( { \sum \limits_{ k=0 } ^ n { C_{ n } ^{ k }x ^ { k } } } \right ).\left ( { \sum \limits_{ l=0 } ^ n { C_{ n } ^{ l }x ^ { l } } } \right ) $ và $ \left ( { 1+x } \right ) ^ { 2n } =\sum \limits_{ i=0 } ^ 2n { C_{ 2n } ^{ i }x ^ { i } } $.
Xét hệ số của $ x ^ { n } $ trong khai triển vế trái của $ \left ( { * } \right ) $ là $ \sum \limits_{ k+l=n } { C_{ n } ^{ k }.C_{ n } ^{ l } }=\sum \limits_{ k=0 } ^ n { C_{ n } ^{ k }.C_{ n } ^{ n-k } }=\sum \limits_{ k=0 } ^ n { \left ( { C_{ n } ^{ k } } \right ) ^ { 2 } } $.
Hệ số của $ x ^ { n } $ trong khai triển vế phải của $ \left ( { * } \right ) $ là $ C_{ 2n } ^{ n } $.
Từ đó suy ra $ \sum \limits_{ k=0 } ^ n { \left ( { C_{ n } ^{ k } } \right ) ^ { 2 } }=\left ( { C_{ n } ^{ 0 } } \right ) ^ { 2 } +\left ( { C_{ n } ^{ 1 } } \right ) ^ { 2 } +\cdot \cdot \cdot +\left ( { C_{ n } ^{ n } } \right ) ^ { 2 } =C_{ 2n } ^{ n } $.