Bài tập nâng cao · Bài 20
Bài tập nâng cao Nhị thức Newton · Bài 20
Trong khai triển biểu thức $ F=\left ( { \sqrt[] { 3 }+\sqrt[3] { 2 } } \right ) ^ { 9 } $ số hạng nguyên có giá trị lớn nhất là
Xem lời giải
Lời giải
Ta có số hạng tổng quát $ T_{ k+1 } =C_{ 9 } ^{ k }\left ( { \sqrt[] { 3 } } \right ) ^ { 9-k } \left ( { \sqrt[3] { 2 } } \right ) ^ { k } $
Ta thấy biểu thức dưới căn bậc hai và căn bậc ba là các số nguyên tố, do đó để $ T_{ k+1 } $ là một số nguyên thì $ \left \{ \begin{array}{l} k\in \mathbb{N} \\ 0\leq k\leq 9 \\ \left ( { 9-k } \right )\vdots 2 \\ k\vdots 3 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ k=3\Rightarrow T_{ 4 } =C_{ 9 } ^{ 3 }\left ( { \sqrt[] { 3 } } \right ) ^ { 6 } \left ( { \sqrt[3] { 2 } } \right ) ^ { 3 } =4536 \\ k=9\Rightarrow T_{ 10 } =C_{ 9 } ^{ 9 }\left ( { \sqrt[] { 3 } } \right ) ^ { 0 } \left ( { \sqrt[3] { 2 } } \right ) ^ { 9 } =8 \right. $
Vậy trong khai triển có hai số hạng nguyên là $ T_{ 4 } =4536 $ và $ T_{ 10 } =8 $ nên số hạng nguyên có giá trị lớn nhất là 4536.
Ta thấy biểu thức dưới căn bậc hai và căn bậc ba là các số nguyên tố, do đó để $ T_{ k+1 } $ là một số nguyên thì $ \left \{ \begin{array}{l} k\in \mathbb{N} \\ 0\leq k\leq 9 \\ \left ( { 9-k } \right )\vdots 2 \\ k\vdots 3 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ k=3\Rightarrow T_{ 4 } =C_{ 9 } ^{ 3 }\left ( { \sqrt[] { 3 } } \right ) ^ { 6 } \left ( { \sqrt[3] { 2 } } \right ) ^ { 3 } =4536 \\ k=9\Rightarrow T_{ 10 } =C_{ 9 } ^{ 9 }\left ( { \sqrt[] { 3 } } \right ) ^ { 0 } \left ( { \sqrt[3] { 2 } } \right ) ^ { 9 } =8 \right. $
Vậy trong khai triển có hai số hạng nguyên là $ T_{ 4 } =4536 $ và $ T_{ 10 } =8 $ nên số hạng nguyên có giá trị lớn nhất là 4536.