Bài tập nâng cao · Bài 21
Bài tập nâng cao Nhị thức Newton · Bài 21
Tìm hệ số của số hạng chứa $ x ^ { 5 } $ trong khai triển $ \left ( { 2+x+2x ^ { 2 } +x ^ { 3 } } \right ) ^ { 11 } $.
Xem lời giải
Lời giải
$ \left ( { 2+x+2x ^ { 2 } +x ^ { 3 } } \right ) ^ { 11 } $$ =\left[ \left ( { x+2 } \right )+x ^ { 2 } \left ( { x+2 } \right ) \right] ^ { 11 } = $$ \left[ \left ( { x ^ { 2 } +1 } \right )\left ( { x+2 } \right ) \right] ^ { 11 } $$ =\left ( { x ^ { 2 } +1 } \right ) ^ { 11 } \left ( { x+2 } \right ) ^ { 11 } $
$ =\sum \limits_{ k=0 } ^ 11 { C_{ 11 } ^{ k }x ^ { 2k } }\sum \limits_{ m=0 } ^ 11 { C_{ 11 } ^{ m }x ^ { m } .2 ^ { 11-m } } $ $ =\sum \limits_{ k=0 } ^ 11 \sum \limits_{ m=0 } ^ 11 { C_{ 11 } ^{ m }.C_{ 11 } ^{ k }.x ^ { 2k+m } .2 ^ { 11-m } } $
Ta có các cặp $ \left ( { k,m } \right ):2k+m=5 $ (với $ m,k\in \mathbb{N},\,m\leq 11,k\leq 11 $)
Suy ra hệ số của số hạng chứa $ x ^ { 5 } $ là: $ C_{ 11 } ^{ 0 }.C_{ 11 } ^{ 5 }.2 ^ { 6 } +C_{ 11 } ^{ 1 }.C_{ 11 } ^{ 3 }.2 ^ { 8 } +C_{ 11 } ^{ 2 }.C_{ 11 } ^{ 1 }.2 ^ { 10 } =1113728 $.
$ =\sum \limits_{ k=0 } ^ 11 { C_{ 11 } ^{ k }x ^ { 2k } }\sum \limits_{ m=0 } ^ 11 { C_{ 11 } ^{ m }x ^ { m } .2 ^ { 11-m } } $ $ =\sum \limits_{ k=0 } ^ 11 \sum \limits_{ m=0 } ^ 11 { C_{ 11 } ^{ m }.C_{ 11 } ^{ k }.x ^ { 2k+m } .2 ^ { 11-m } } $
Ta có các cặp $ \left ( { k,m } \right ):2k+m=5 $ (với $ m,k\in \mathbb{N},\,m\leq 11,k\leq 11 $)
Suy ra hệ số của số hạng chứa $ x ^ { 5 } $ là: $ C_{ 11 } ^{ 0 }.C_{ 11 } ^{ 5 }.2 ^ { 6 } +C_{ 11 } ^{ 1 }.C_{ 11 } ^{ 3 }.2 ^ { 8 } +C_{ 11 } ^{ 2 }.C_{ 11 } ^{ 1 }.2 ^ { 10 } =1113728 $.