Bài tập nâng cao · Bài 22
Bài tập nâng cao Nhị thức Newton · Bài 22
Biểu thức $ P=\left ( { x+y+2z } \right ) ^ { 2019 } +\left ( { x-y-2z } \right ) ^ { 2019 } $ còn lại bao nhiêu số hạng sau khi được khai triển và rút gọn?
Xem lời giải
Lời giải
Ta có
$ P=\left ( { x+y+2z } \right ) ^ { 2019 } +\left ( { x-y-2z } \right ) ^ { 2019 } =\left ( { x+y+2z } \right ) ^ { 2019 } +\left[ x-\left ( { y+2{ \rm{ z } } } \right ) \right] ^ { 2019 } $
$ =\sum \limits_{ k=0 } ^ 2019 { C_{ 2019 } ^{ k }.x ^ { k } .\left[ \left ( { y+2{ \rm{ z } } } \right ) ^ { 2019-k } +\left ( { -1 } \right ) ^ { 2019-k } .\left ( { y+2{ \rm{ z } } } \right ) ^ { 2019-k } \right] } $.
Vì $ \left ( { y+2{ \rm{ z } } } \right ) ^ { 2019-k } +\left ( { -1 } \right ) ^ { 2019-k } .\left ( { y+2{ \rm{ z } } } \right ) ^ { 2019-k } =0 $ nếu $ k $ chẵn
và $ \left ( { y+2{ \rm{ z } } } \right ) ^ { 2019-k } +\left ( { -1 } \right ) ^ { 2019-k } .\left ( { y+2{ \rm{ z } } } \right ) ^ { 2019-k } =2.\left ( { y+2{ \rm{ z } } } \right ) ^ { 2019-k } $ nếu $ k $ lẻ
Nên $ P=2.\sum \limits_{ i=0 } ^ 1009 { C_{ 2019 } ^{ 2i+1 }.x ^ { 2i+1 } . }\left ( { y+2{ \rm{ z } } } \right ) ^ { 2019-\left ( { 2i+1 } \right ) } =2.\sum \limits_{ i=0 } ^ 1009 { C_{ 2019 } ^{ 2i+1 }.x ^ { 2i+1 } . }\left ( { y+2{ \rm{ z } } } \right ) ^ { 2018-2i } $
Vậy sau khi rút gọn khai triển biểu thức trên có
$ 1+3+5+\ldots \ldots +2019=\frac { \left ( { 1+2019 } \right ).1010 } { 2 }=1020100 $ số hạng.
$ P=\left ( { x+y+2z } \right ) ^ { 2019 } +\left ( { x-y-2z } \right ) ^ { 2019 } =\left ( { x+y+2z } \right ) ^ { 2019 } +\left[ x-\left ( { y+2{ \rm{ z } } } \right ) \right] ^ { 2019 } $
$ =\sum \limits_{ k=0 } ^ 2019 { C_{ 2019 } ^{ k }.x ^ { k } .\left[ \left ( { y+2{ \rm{ z } } } \right ) ^ { 2019-k } +\left ( { -1 } \right ) ^ { 2019-k } .\left ( { y+2{ \rm{ z } } } \right ) ^ { 2019-k } \right] } $.
Vì $ \left ( { y+2{ \rm{ z } } } \right ) ^ { 2019-k } +\left ( { -1 } \right ) ^ { 2019-k } .\left ( { y+2{ \rm{ z } } } \right ) ^ { 2019-k } =0 $ nếu $ k $ chẵn
và $ \left ( { y+2{ \rm{ z } } } \right ) ^ { 2019-k } +\left ( { -1 } \right ) ^ { 2019-k } .\left ( { y+2{ \rm{ z } } } \right ) ^ { 2019-k } =2.\left ( { y+2{ \rm{ z } } } \right ) ^ { 2019-k } $ nếu $ k $ lẻ
Nên $ P=2.\sum \limits_{ i=0 } ^ 1009 { C_{ 2019 } ^{ 2i+1 }.x ^ { 2i+1 } . }\left ( { y+2{ \rm{ z } } } \right ) ^ { 2019-\left ( { 2i+1 } \right ) } =2.\sum \limits_{ i=0 } ^ 1009 { C_{ 2019 } ^{ 2i+1 }.x ^ { 2i+1 } . }\left ( { y+2{ \rm{ z } } } \right ) ^ { 2018-2i } $
Vậy sau khi rút gọn khai triển biểu thức trên có
$ 1+3+5+\ldots \ldots +2019=\frac { \left ( { 1+2019 } \right ).1010 } { 2 }=1020100 $ số hạng.