Bài tập nâng cao · Bài 14
Bài tập nâng cao Nhị thức Newton · Bài 14
Cho $ n $ là số nguyên dương, $ n\geq 2 $ và thỏa mãn $ C_{ n } ^{ 2 }-C_{ n } ^{ 1 }=44 $. Số hạng không chứa $ x $ trong khai triển của biểu thức $ \left ( { x\sqrt[] { x }+\frac { 1 } { x ^ { 4 } } } \right ) ^ { n } $, với $ x>0 $ bằng:
Xem lời giải
Lời giải
Ta có: $ C_{ n } ^{ 2 }-C_{ n } ^{ 1 }=44\Leftrightarrow \frac { n\left ( { n-1 } \right ) } { 2 }-n=44 $$ \Leftrightarrow n ^ { 2 } -3n-88=0\Leftrightarrow \left[ n=11 \\ n=-8\left ( { l } \right ) \right. $.
Do đó $ \left ( { x\sqrt[] { x }+\frac { 1 } { x ^ { 4 } } } \right ) ^ { 11 } =\sum \limits_{ k=0 } ^ 11 { C_{ 11 } ^{ k }\left ( { x\sqrt[] { x } } \right ) ^ { k } \left ( { \frac { 1 } { x ^ { 4 } } } \right ) ^ { 11-k } } $$ =\sum \limits_{ k=0 } ^ 11 { C_{ 11 } ^{ k }\left ( { x } \right ) ^ { \frac { 3k } { 2 }+4\left ( { k-11 } \right ) } }=\sum \limits_{ k=0 } ^ 11 { C_{ 11 } ^{ k }\left ( { x } \right ) ^ { \frac { 11k-88 } { 2 } } } $.
Số hạng không chứa $ x $ khi $ 11k-88=0\Leftrightarrow k=8 $. Do vậy số hạng cần tìm là $ C_{ 11 } ^{ 8 }=165 $.
Do đó $ \left ( { x\sqrt[] { x }+\frac { 1 } { x ^ { 4 } } } \right ) ^ { 11 } =\sum \limits_{ k=0 } ^ 11 { C_{ 11 } ^{ k }\left ( { x\sqrt[] { x } } \right ) ^ { k } \left ( { \frac { 1 } { x ^ { 4 } } } \right ) ^ { 11-k } } $$ =\sum \limits_{ k=0 } ^ 11 { C_{ 11 } ^{ k }\left ( { x } \right ) ^ { \frac { 3k } { 2 }+4\left ( { k-11 } \right ) } }=\sum \limits_{ k=0 } ^ 11 { C_{ 11 } ^{ k }\left ( { x } \right ) ^ { \frac { 11k-88 } { 2 } } } $.
Số hạng không chứa $ x $ khi $ 11k-88=0\Leftrightarrow k=8 $. Do vậy số hạng cần tìm là $ C_{ 11 } ^{ 8 }=165 $.