Bài tập nâng cao · Bài 13
Bài tập nâng cao Nhị thức Newton · Bài 13
Cho khai triển $ T=\left ( { 1+x-x ^ { 2019 } } \right ) ^ { 2020 } +\left ( { 1-x+x ^ { 2020 } } \right ) ^ { 2019 } $. Hệ số của số hạng chứa $ x $ trong khai triển bằng:
Xem lời giải
Lời giải
Cách1: Ta có $ T=\sum \limits_{ k=0 } ^ 2020 { C_{ 2020 } ^{ k }\left ( { x-x ^ { 2019 } } \right ) ^ { k } }+\sum \limits_{ k'=0 } ^ 2019 { C_{ 2019 } ^{ k' }\left ( { x ^ { 2020 } -x } \right ) ^ { k' } } $.
Hệ số của số hạng chứa $ x $ ứng với $ k=k'=1 $.
Do đó hệ số cần tìm là $ C_{ 2020 } ^{ 1 }-C_{ 2019 } ^{ 1 }=1 $.
Cách2: Ta có $ T=a_{ 0 } +a_{ 1 } x+a_{ 2 } x ^ { 2 } +\ldots +a_{ 2019.2020 } x ^ { 2019.2020 } =f\left ( { x } \right ) $
$ \Rightarrow f'\left ( { x } \right )=a_{ 1 } +2a_{ 2 } x+\ldots +2017.2018a_{ 2017.2018 } x ^ { 2017.2018-1 } \Rightarrow f'\left ( { 0 } \right )=a_{ 1 } $.
Mà $ f'\left ( { x } \right )=2018\left ( { 1+x-x ^ { 2017 } } \right ) ^ { 2017 } \left ( { 1-2017x ^ { 2016 } } \right )+2017\left ( { 1-x+x ^ { 2018 } } \right ) ^ { 2016 } \left ( { -1+2018x ^ { 2017 } } \right ) $
$ \Rightarrow f'\left ( { 0 } \right )=2018-2017=1 $$ \Rightarrow a_{ 1 } =1 $.
Do đó hệ số cần tìm là $ 1 $.
Hệ số của số hạng chứa $ x $ ứng với $ k=k'=1 $.
Do đó hệ số cần tìm là $ C_{ 2020 } ^{ 1 }-C_{ 2019 } ^{ 1 }=1 $.
Cách2: Ta có $ T=a_{ 0 } +a_{ 1 } x+a_{ 2 } x ^ { 2 } +\ldots +a_{ 2019.2020 } x ^ { 2019.2020 } =f\left ( { x } \right ) $
$ \Rightarrow f'\left ( { x } \right )=a_{ 1 } +2a_{ 2 } x+\ldots +2017.2018a_{ 2017.2018 } x ^ { 2017.2018-1 } \Rightarrow f'\left ( { 0 } \right )=a_{ 1 } $.
Mà $ f'\left ( { x } \right )=2018\left ( { 1+x-x ^ { 2017 } } \right ) ^ { 2017 } \left ( { 1-2017x ^ { 2016 } } \right )+2017\left ( { 1-x+x ^ { 2018 } } \right ) ^ { 2016 } \left ( { -1+2018x ^ { 2017 } } \right ) $
$ \Rightarrow f'\left ( { 0 } \right )=2018-2017=1 $$ \Rightarrow a_{ 1 } =1 $.
Do đó hệ số cần tìm là $ 1 $.