Bài tập nâng cao · Bài 10
Bài tập nâng cao Nhị thức Newton · Bài 10
Tổng tất cả các hệ số của khai triển biểu thức$ \left ( { 2x+1 } \right ) ^ { 6 } $
Xem lời giải
Lời giải
Áp dụng khai triển nhị thức Newton:
$ \left ( { 2x+1 } \right ) ^ { 6 } =\sum \limits_{ k=0 } ^ 6 { C_{ 6 } ^{ k }\left ( { 2x } \right ) ^ { 6-k } 1 ^ { k } = }C_{ 6 } ^{ 0 }\left ( { 2x } \right ) ^ { 6 } 1 ^ { 0 } +C_{ 6 } ^{ 1 }\left ( { 2x } \right ) ^ { 5 } 1 ^ { 1 } +C_{ 6 } ^{ 2 }\left ( { 2x } \right ) ^ { 4 } 1 ^ { 2 } +\ldots +C_{ 6 } ^{ 6 }\left ( { 2x } \right ) ^ { 0 } 1 ^ { 6 } $
Tổng các hệ số trong khai triển là: $ S=C_{ 6 } ^{ 0 }2 ^ { 6 } +C_{ 6 } ^{ 1 }2 ^ { 5 } +C_{ 6 } ^{ 2 }2 ^ { 4 } +\ldots +C_{ 6 } ^{ 6 }2 ^ { 0 } $
Thay $ x=1 $vào $ \left ( { 2x+1 } \right ) ^ { 6 } $ ta được:
$ \left ( { 2.1+1 } \right ) ^ { 6 } =C_{ 6 } ^{ 0 }\left ( { 2.1 } \right ) ^ { 6 } 1 ^ { 0 } +C_{ 6 } ^{ 1 }\left ( { 2.1 } \right ) ^ { 5 } 1 ^ { 1 } +C_{ 6 } ^{ 2 }\left ( { 2.1 } \right ) ^ { 4 } 1 ^ { 2 } +\ldots +C_{ 6 } ^{ 6 }\left ( { 2.1 } \right ) ^ { 0 } 1 ^ { 6 } $
$ \Leftrightarrow 3 ^ { 6 } =C_{ 6 } ^{ 0 }2 ^ { 6 } +C_{ 6 } ^{ 1 }2 ^ { 5 } +C_{ 6 } ^{ 2 }2 ^ { 4 } +\ldots +C_{ 6 } ^{ 6 }2 ^ { 0 } \Leftrightarrow 3 ^ { 6 } =S\Leftrightarrow S=729 $.
$ \left ( { 2x+1 } \right ) ^ { 6 } =\sum \limits_{ k=0 } ^ 6 { C_{ 6 } ^{ k }\left ( { 2x } \right ) ^ { 6-k } 1 ^ { k } = }C_{ 6 } ^{ 0 }\left ( { 2x } \right ) ^ { 6 } 1 ^ { 0 } +C_{ 6 } ^{ 1 }\left ( { 2x } \right ) ^ { 5 } 1 ^ { 1 } +C_{ 6 } ^{ 2 }\left ( { 2x } \right ) ^ { 4 } 1 ^ { 2 } +\ldots +C_{ 6 } ^{ 6 }\left ( { 2x } \right ) ^ { 0 } 1 ^ { 6 } $
Tổng các hệ số trong khai triển là: $ S=C_{ 6 } ^{ 0 }2 ^ { 6 } +C_{ 6 } ^{ 1 }2 ^ { 5 } +C_{ 6 } ^{ 2 }2 ^ { 4 } +\ldots +C_{ 6 } ^{ 6 }2 ^ { 0 } $
Thay $ x=1 $vào $ \left ( { 2x+1 } \right ) ^ { 6 } $ ta được:
$ \left ( { 2.1+1 } \right ) ^ { 6 } =C_{ 6 } ^{ 0 }\left ( { 2.1 } \right ) ^ { 6 } 1 ^ { 0 } +C_{ 6 } ^{ 1 }\left ( { 2.1 } \right ) ^ { 5 } 1 ^ { 1 } +C_{ 6 } ^{ 2 }\left ( { 2.1 } \right ) ^ { 4 } 1 ^ { 2 } +\ldots +C_{ 6 } ^{ 6 }\left ( { 2.1 } \right ) ^ { 0 } 1 ^ { 6 } $
$ \Leftrightarrow 3 ^ { 6 } =C_{ 6 } ^{ 0 }2 ^ { 6 } +C_{ 6 } ^{ 1 }2 ^ { 5 } +C_{ 6 } ^{ 2 }2 ^ { 4 } +\ldots +C_{ 6 } ^{ 6 }2 ^ { 0 } \Leftrightarrow 3 ^ { 6 } =S\Leftrightarrow S=729 $.