Bài tập nâng cao · Bài 11
Bài tập nâng cao Nhị thức Newton · Bài 11
Tính $ \left ( { C_{ 2020{ \rm{ } } } ^{ 0 } } \right ) ^ { 2 } -\left ( { C_{ 2020 } ^{ 1 } } \right ) ^ { 2 } +\left ( { C_{ 2020 } ^{ 2 } } \right ) ^ { 2 } -···+\left ( { C_{ 2020 } ^{ 2020 } } \right ) ^ { 2 } . $
Xem lời giải
Lời giải
Ta có
$ \left ( { 1+x } \right ) ^ { 2020 } =C_{ 2020 } ^{ 0 }+C_{ 2020 } ^{ 1 }x+\ldots +C_{ 2020 } ^{ 1010 }x ^ { 1010 } +\ldots +C_{ 2020 } ^{ 2019 }x ^ { 2019 } +C_{ 2020 } ^{ 2020 }x ^ { 2020 } $.
$ \left ( { 1-x } \right ) ^ { 2020 } =C_{ 2020 } ^{ 0 }-C_{ 2020 } ^{ 1 }x+\ldots +C_{ 2020 } ^{ 1010 }x ^ { 1010 } -\ldots -C_{ 2020 } ^{ 2019 }x ^ { 2019 } +C_{ 2020 } ^{ 2020 }x ^ { 2020 } $.
$ \Rightarrow $ Hệ số của hạng tử chứa $ x ^ { 2020 } $ trong khai triển của tích $ \left ( { 1{ \rm{ } }+{ \rm{ } }x } \right ) ^ { 2020 } \left ( { 1-x } \right ) ^ { 2020 } $ là
$ C_{ 2020 } ^{ 0 }.C_{ 2020 } ^{ 2020 }-C_{ 2020 } ^{ 1 }.C_{ 2020 } ^{ 2019 }+C_{ 2020 } ^{ 2 }.C_{ 2020 } ^{ 2018 }-\ldots +C_{ 2020 } ^{ 1010 }.C_{ 2020 } ^{ 1010 }+\ldots -C_{ 2020 } ^{ 2019 }.C_{ 2020 } ^{ 1 }+C_{ 2020 } ^{ 2020 }.C_{ 2020 } ^{ 0 } $
$ =\left ( { C_{ 2020 } ^{ 0 } } \right ) ^ { 2 } -\left ( { C_{ 2020 } ^{ 1 } } \right ) ^ { 2 } +\ldots +\left ( { C_{ 2020 } ^{ 1010 } } \right ) ^ { 2 } -\ldots +\left ( { C_{ 2020 } ^{ 2020 } } \right ) ^ { 2 } $.(1)
Mặt khác $ (1+x)^{2020}(1-x)^{2020}=(1-x^2)^{2020}=C_{2020}^0-C_{2020}^1x^2+\ldots+C_{2020}^{1010}(x^2)^{1010}+\ldots+C_{2020}^{2020}(-x^2)^{2020} $.
Suy ra hệ số của hạng tử chứa $ x ^ { 2020 } $ trong khai triển $ \left ( { 1-x ^ { 2 } } \right ) ^ { 2020 } $là $ C_{ 2020 } ^{ 1010 } $ (2)
Từ (1) và (2) suy ra $ \left ( { C_{ 2020 } ^{ 0 } } \right ) ^ { 2 } -\left ( { C_{ 2020 } ^{ 1 } } \right ) ^ { 2 } +\ldots +\left ( { C_{ 2020 } ^{ 1010 } } \right ) ^ { 2 } -\ldots +\left ( { C_{ 2020 } ^{ 2020 } } \right ) ^ { 2020 } =C_{ 2020 } ^{ 1010 }. $
$ \left ( { 1+x } \right ) ^ { 2020 } =C_{ 2020 } ^{ 0 }+C_{ 2020 } ^{ 1 }x+\ldots +C_{ 2020 } ^{ 1010 }x ^ { 1010 } +\ldots +C_{ 2020 } ^{ 2019 }x ^ { 2019 } +C_{ 2020 } ^{ 2020 }x ^ { 2020 } $.
$ \left ( { 1-x } \right ) ^ { 2020 } =C_{ 2020 } ^{ 0 }-C_{ 2020 } ^{ 1 }x+\ldots +C_{ 2020 } ^{ 1010 }x ^ { 1010 } -\ldots -C_{ 2020 } ^{ 2019 }x ^ { 2019 } +C_{ 2020 } ^{ 2020 }x ^ { 2020 } $.
$ \Rightarrow $ Hệ số của hạng tử chứa $ x ^ { 2020 } $ trong khai triển của tích $ \left ( { 1{ \rm{ } }+{ \rm{ } }x } \right ) ^ { 2020 } \left ( { 1-x } \right ) ^ { 2020 } $ là
$ C_{ 2020 } ^{ 0 }.C_{ 2020 } ^{ 2020 }-C_{ 2020 } ^{ 1 }.C_{ 2020 } ^{ 2019 }+C_{ 2020 } ^{ 2 }.C_{ 2020 } ^{ 2018 }-\ldots +C_{ 2020 } ^{ 1010 }.C_{ 2020 } ^{ 1010 }+\ldots -C_{ 2020 } ^{ 2019 }.C_{ 2020 } ^{ 1 }+C_{ 2020 } ^{ 2020 }.C_{ 2020 } ^{ 0 } $
$ =\left ( { C_{ 2020 } ^{ 0 } } \right ) ^ { 2 } -\left ( { C_{ 2020 } ^{ 1 } } \right ) ^ { 2 } +\ldots +\left ( { C_{ 2020 } ^{ 1010 } } \right ) ^ { 2 } -\ldots +\left ( { C_{ 2020 } ^{ 2020 } } \right ) ^ { 2 } $.(1)
Mặt khác $ (1+x)^{2020}(1-x)^{2020}=(1-x^2)^{2020}=C_{2020}^0-C_{2020}^1x^2+\ldots+C_{2020}^{1010}(x^2)^{1010}+\ldots+C_{2020}^{2020}(-x^2)^{2020} $.
Suy ra hệ số của hạng tử chứa $ x ^ { 2020 } $ trong khai triển $ \left ( { 1-x ^ { 2 } } \right ) ^ { 2020 } $là $ C_{ 2020 } ^{ 1010 } $ (2)
Từ (1) và (2) suy ra $ \left ( { C_{ 2020 } ^{ 0 } } \right ) ^ { 2 } -\left ( { C_{ 2020 } ^{ 1 } } \right ) ^ { 2 } +\ldots +\left ( { C_{ 2020 } ^{ 1010 } } \right ) ^ { 2 } -\ldots +\left ( { C_{ 2020 } ^{ 2020 } } \right ) ^ { 2020 } =C_{ 2020 } ^{ 1010 }. $