Cho tam giác $ABC$ và số $k$. Tìm tập hợp các điểm $M$ sao cho $2MA^2+3MB^2+5MC^2=k^2$.

Question

DẠNG 5. TẬP HỢP ĐIỂM Dạng 1: $\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=k$ $(1)$ ($A,B$ là hai điểm cố định). $-\quad k=0$: Tập hợp các điểm $M$ là đường tròn đường kính $AB$. $-\quad k e0$: Gọi $I$ là trung điểm của $AB$. $(1)\Leftrightarrow(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA})\cdot(\overrightarrow{MI}-\overrightarrow{IA})=k\Leftrightarrow MI^2-IA^2=k\Leftrightarrow MI^2=k+\dfrac{AB^2}{4}$. $+\quad$ Nếu $k+\dfrac{AB^2}{4}>0\Leftrightarrow k>-\dfrac{AB^2}{4}$: Tập hợp các điểm $M$ là đường tròn tâm $I$, bán kính $\sqrt{k+\dfrac{AB^2}{4}}$. $+\quad$ Nếu $k+\dfrac{AB^2}{4}=0\Leftrightarrow k=-\dfrac{AB^2}{4}$: Tập hợp điểm $M$ là điểm $I$. $+\quad$ Nếu $k+\dfrac{AB^2}{4}<0\Leftrightarrow k<-\dfrac{AB^2}{4}$: Tập hợp các điểm $M$ là rỗng. Dạng 2: $\overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow v=k$ $(2)$ ($A$ cố định, $\overrightarrow v$ có hướng, độ dài xác định). $k=0$: Tập hợp các điểm $M$ là đường thẳng qua $A$ và vuông góc với giá của $\overrightarrow v$. $k e0$: Gọi $\overrightarrow{A'M'}$ là hình chiếu của $\overrightarrow{AM}$ trên giá của vectơ $\overrightarrow v$; ta có: $(2)\Leftrightarrow\overrightarrow{A'M'}\cdot\overrightarrow v=k$ (định lí hình chiếu). $A'$ cố định $\Rightarrow M'$ cố định ($M'$ nằm trên giá của $\overrightarrow v$ định bởi $A'M'=\dfrac{k}{v}$). Tập hợp các điểm $M$ là đường thẳng vuông góc với giá của vectơ $\overrightarrow v$ tại $M'$. [IMAGE:question_images/10-16. TICH VO HUONG/F. BAI TAP NANG CAO/image691.png] [IMAGE:question_images/10-16. TICH VO HUONG/F. BAI TAP NANG CAO/image692.png] Dạng 3: $\alpha MA^2+\beta MB^2=k$ $(3)$ ($A,B$ cố định, $\alpha,\beta$ là hằng số và $\alpha+\beta e0$). Gọi $I$ là điểm thỏa $\alpha\overrightarrow{IA}+\beta\overrightarrow{IB}=\overrightarrow0\Rightarrow I$ là điểm cố định. $(3)\Leftrightarrow\alpha(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA})^2+\beta(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB})^2=k$ $\Leftrightarrow(\alpha+\beta)MI^2+2(\alpha\overrightarrow{IA}+\beta\overrightarrow{IB})\cdot\overrightarrow{MI}+\alpha IA^2+\beta IB^2=k$ $\Leftrightarrow(\alpha+\beta)MI^2=k-(\alpha IA^2+\beta IB^2)$ $\Leftrightarrow MI^2=\dfrac{k-(\alpha IA^2+\beta IB^2)}{\alpha+\beta}$. Nếu $\dfrac{k-(\alpha IA^2+\beta IB^2)}{\alpha+\beta}>0$: Tập hợp điểm $M$ là đường tròn tâm $I$, bán kính $\sqrt{\dfrac{k-(\alpha IA^2+\beta IB^2)}{\alpha+\beta}}$. Nếu $\dfrac{k-(\alpha IA^2+\beta IB^2)}{\alpha+\beta}=0\Leftrightarrow k=\alpha IA^2+\beta IB^2$: Tập hợp điểm $M$ là điểm $I$. Nếu $\dfrac{k-(\alpha IA^2+\beta IB^2)}{\alpha+\beta}<0$: Tập hợp điểm $M$ là rỗng. Chú ý: Để giải các bài toán thuộc loại trên, ta nên thu gọn biểu thức đã cho bằng cách sử dụng công thức thu gọn vectơ dưới đây: $-\quad$ Cho hai điểm $A,B$ cố định, $\alpha,\beta$ là hằng số thỏa $\alpha+\beta e0$ thì tồn tại duy nhất một điểm $I$ sao cho $\alpha\overrightarrow{IA}+\beta\overrightarrow{IB}=\overrightarrow0$. Nếu với điểm $M$ tùy ý trong mặt phẳng thì ta có: $\alpha\overrightarrow{MA}+\beta\overrightarrow{MB}=(\alpha+\beta)\overrightarrow{MI}$. $-\quad$ Cho ba điểm $A,B,C$ cố định, $\alpha,\beta,\chi$ là hằng số thỏa $\alpha+\beta+\chi e0$ thì tồn tại duy nhất một điểm $I$ sao cho $\alpha\overrightarrow{IA}+\beta\overrightarrow{IB}+\chi\overrightarrow{IC}=\overrightarrow0$. Nếu với điểm $M$ tùy ý trong mặt phẳng thì ta có: $\alpha\overrightarrow{MA}+\beta\overrightarrow{MB}+\chi\overrightarrow{MC}=(\alpha+\beta+\chi)\overrightarrow{MI}$. Cho tam giác $ABC$ và số $k$. Tìm tập hợp các điểm $M$ sao cho $2MA^2+3MB^2+5MC^2=k^2$.

Beedemy · Accepted Answer

Lời giải: Gọi $I$ là điểm thỏa mãn $2\overrightarrow{IA}+3\overrightarrow{IB}+5\overrightarrow{IC}=\overrightarrow0$. Ta có $-2\overrightarrow{AI}+3(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AI})+5(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AI})=\overrightarrow0$ $\Leftrightarrow 3\overrightarrow{AB}+5\overrightarrow{AC}=10\overrightarrow{AI}$ $\Leftrightarrow \overrightarrow{AI}=\dfrac3{10}\overrightarrow{AB}+\dfrac12\overrightarrow{AC}$. Do đó điểm $I$ được xác định duy nhất. Với mọi điểm $M$, $2MA^2+3MB^2+5MC^2$ $=2(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA})^2+3(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB})^2+5(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IC})^2$ $=10MI^2+2IA^2+3IB^2+5IC^2+2\overrightarrow{MI}\cdot(2\overrightarrow{IA}+3\overrightarrow{IB}+5\overrightarrow{IC})$ $=10MI^2+2IA^2+3IB^2+5IC^2$. Vì vậy $2MA^2+3MB^2+5MC^2=k^2$ $\Leftrightarrow MI^2=\dfrac1{10}(k^2-2IA^2-3IB^2-5IC^2)$. Suy ra: - Nếu $k^2>2IA^2+3IB^2+5IC^2$ thì tập hợp các điểm $M$ là đường tròn tâm $I$, bán kính $R=\sqrt{\dfrac1{10}(k^2-2IA^2-3IB^2-5IC^2)}$. - Nếu $k^2=2IA^2+3IB^2+5IC^2$ thì tập hợp chỉ gồm điểm $I$. - Nếu $k^2<2IA^2+3IB^2+5IC^2$ thì tập hợp là rỗng.

Bài tập nâng cao Tích vô hướng của hai vectơ · Bài 61