Bài tập nâng cao Khoảng cách · Bài 60

Dựng điểm $ D $ sao cho $ ABCD $ là hình bình hành.
Ta có:$ B'C\,{ \rm{ / } }{ \rm{ / } }\,A'D\Rightarrow B'C\,{ \rm{ / } }{ \rm{ / } }\,\left ( { A'HD } \right )\,\Rightarrow d\left ( { B'C;A'H } \right )=d\left ( { B'C;\left ( { A'HD } \right )\, } \right )=d\left ( { C;\left ( { A'HD } \right ) } \right ) $
Kẻ $ CK⊥HD $. Vì $ A'H⊥\left ( { ABC } \right ) $ nên $ A'H⊥CK $. Suy ra $ CK⊥\left ( { A'HD } \right )\Rightarrow d\left ( { C;\left ( { A'HD } \right ) } \right )=CK $
Kẻ $ HM\,{ \rm{ / } }{ \rm{ / } }\,BC\Rightarrow HM⊥AC $
Ta có: $ \left \{ \begin{array}{l} HM⊥AC \\ HM⊥A'H \end{array} \right.\Rightarrow HM⊥\left ( { A'AC } \right )\Rightarrow HM⊥AA' $
Kẻ $ HI⊥AA'\Rightarrow AA'⊥\left ( { HMI } \right )\Rightarrow AA'⊥IM $
Do đó: góc giữa hai mặt phẳng $ \left ( { AA'B'B } \right ) $ và $ \left ( { AA'C'C } \right ) $ chính là $ \widehat { HIM } $ và $ \widehat { HIM }=30° $
Lại có: $ \left ( { \widehat { AA';\left ( { ABC } \right ) } } \right )= \widehat { A'AH }=60° $
$ IH=AH.sin60°=\frac { a\sqrt[] { 3 } } { 2 } $; $ HM=HI.tan30°=\frac { a\sqrt[] { 3 } } { 2 }.\frac { 1 } { \sqrt[] { 3 } }=\frac { a } { 2 } \Rightarrow BC=a $.
Do đó $ d\left ( { B'C;A'H } \right )=CK=\frac { CH.CB } { \sqrt[] { CH ^ { 2 } +CB ^ { 2 } } }=\frac { a ^ { 2 } } { a\sqrt[] { 2 } }=\frac { a\sqrt[] { 2 } } { 2 } $.