Bài tự luận Một số bài toán thuộc chuyên đề Toán học 10–11–12 · Bài 15
Bốn trạm phát tín hiệu vô tuyến có vị trí $A,B,C,D$ theo thứ tự đó thẳng hàng và cách đều với khoảng cách $200\,\text{km}$ (H.3.16). Tại một thời điểm, bốn trạm cùng phát tín hiệu với vận tốc $292000\,\text{km/s}$. Một tàu thuỷ nhận được tín hiệu từ trạm $C$ trước $0,0005 s$ so với tín hiệu từ trạm $B$ và nhận được tín hiệu từ trạm $D$ sớm 0,001 s so với tín hiệu từ trạm $A$.
a) Tính hiệu các khoảng cách từ tàu đến các trạm $B,C$.
b) Tính hiệu các khoảng cách từ tàu đến các trạm $A,D$.
c) Chọn hệ trục toạ độ $Oxy$ như trong Hình 3.16 (1 đơn vị trên mặt phẳng toạ độ ứng với $100\,\text{km}$ trên thực tế). Hãy lập phương trình chính tắc của hai hypebol đi qua vị trí $M$ của tàu. Từ đó, tính toạ độ của $M$ (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ năm).
d) Tính các khoảng cách từ tàu đến các trạm $B,C$ (đáp số được làm tròn đến hàng đơn vị, tính theo đơn vị km).
Xem lời giải
Lời giải
Gọi vận tốc phát tín hiệu là $v$ (theo đề bài $v=292000$ km/s); $t_A,t_B,t_C,t_D$ lần lượt là thời gian để tàu nhận được tín hiệu từ các trạm $A,B,C,D$; $M$ là vị trí của tàu thuỷ.
a) Hiệu các khoảng cách từ tàu đến các trạm $B,C$ là:
$MB-MC=v t_B-v t_C=v(t_B-t_C)=292000\cdot 0,0005=146$ (km).
b) Hiệu các khoảng cách từ tàu đến các trạm $A,D$ là:
$MA-MD=v t_A-v t_D=v(t_A-t_D)=292000\cdot 0,001=292$ (km).
c) Gọi phương trình chính tắc của hypebol $(H_1)$ nhận $B,C$ làm hai tiêu điểm là $\frac{x^2}{a_1^2}-\frac{y^2}{b_1^2}=1\ (a_1>0,b_1>0)$.
Vì 1 đơn vị trên mặt phẳng toạ độ ứng với 100 km nên $MB-MC=1,46$ đơn vị. Do đó $2a_1=1,46$, suy ra $a_1=0,73$ và $a_1^2=0,5329$.
Theo hình vẽ, $B(-1;0)$ và $C(1;0)$ nên $c_1=1$, do đó $b_1^2=c_1^2-a_1^2=1-0,5329=0,4671$.
Vậy $(H_1)$ có phương trình $\frac{x^2}{0,5329}-\frac{y^2}{0,4671}=1$.
Gọi phương trình chính tắc của hypebol $(H_2)$ nhận $A,D$ làm hai tiêu điểm là $\frac{x^2}{a_2^2}-\frac{y^2}{b_2^2}=1\ (a_2>0,b_2>0)$.
Tương tự, $MA-MD=2,92$ đơn vị nên $2a_2=2,92$, suy ra $a_2=1,46$ và $a_2^2=2,1316$.
Theo hình vẽ, $A(-3;0)$ và $D(3;0)$ nên $c_2=3$, do đó $b_2^2=c_2^2-a_2^2=9-2,1316=6,8684$.
Vậy $(H_2)$ có phương trình $\frac{x^2}{2,1316}-\frac{y^2}{6,8684}=1$.
Gọi $M(x;y)$. Vì $M$ thuộc cả $(H_1)$ và $(H_2)$ nên
$\begin{cases}\frac{x^2}{0,5329}-\frac{y^2}{0,4671}=1,\\[2pt]\frac{x^2}{2,1316}-\frac{y^2}{6,8684}=1.\end{cases}$
Giải hệ theo $x^2,y^2$ được $x^2=\frac{341125277}{125000000}$ và $y^2=\frac{240617223}{125000000}$.
Theo hình vẽ $x,y>0$, do đó $M\approx(1,65197;1,38742)$.
d) Đổi các khoảng cách sang kilômét, ta có:
$MB=100\sqrt{[1,65197-(-1)]^2+1,38742^2}\approx 299$ (km);
$MC=100\sqrt{(1,65197-1)^2+1,38742^2}\approx 153$ (km).
