Bài tập nâng cao · Bài 19
DẠNG 3. CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC VỀ TÍCH VÔ HƯỚNG Sử dụng định nghĩa $ \overset\rightarrow { a }.\overset\rightarrow { b }=\left | { \overset\rightarrow { a } } \right |.\left | { \overset\rightarrow { b } } \right |cos\left ( { \overset\rightarrow { a },\overset\rightarrow { b } } \right ) $ Sử dụng quy tắc chèn điểm, quy tắc công trừ các vectơ và một số quy tắc trung điểm, trọng tâm, tính chất hình bình hành… Tính chất giao hoán và phân phối về tích vô hướng. Nếu trong đẳng thức chứa bình phương độ dài của đoạn thẳng, ta chú ý có thể chuyển về vectơ nhờ đẳng thức $ AB ^ { 2 } =\overset\rightarrow { AB } ^ { 2 } $
Bài tập nâng cao Tích vô hướng của hai vectơ · Bài 19
Cho tam giác $ABC$. Chứng minh rằng:
a) $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=\dfrac12(AB^2+AC^2-BC^2)$.
b) $BC^2=AB^2+AC^2-2AB\cdot AC\cos A$.
a) $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=\dfrac12(AB^2+AC^2-BC^2)$.
b) $BC^2=AB^2+AC^2-2AB\cdot AC\cos A$.
Xem lời giải
Lời giải
a) $BC^2=\overrightarrow{BC}^2=(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB})^2=AC^2+AB^2-2\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{AB}$
$\Rightarrow\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=\dfrac12(AB^2+AC^2-BC^2)$ (1).
b) $BC^2=AB^2+AC^2-2\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=AB^2+AC^2-2AB\cdot AC\cos A$ (2).
Chú ý: Các công thức (1) và (2) thường xuyên được sử dụng trong khi giải các bài tập khác. Đặc biệt, (2) được gọi là định lí hàm số cosin, trong chương sau ta sẽ đề cập nhiều đến định lí này.
$\Rightarrow\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=\dfrac12(AB^2+AC^2-BC^2)$ (1).
b) $BC^2=AB^2+AC^2-2\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=AB^2+AC^2-2AB\cdot AC\cos A$ (2).
Chú ý: Các công thức (1) và (2) thường xuyên được sử dụng trong khi giải các bài tập khác. Đặc biệt, (2) được gọi là định lí hàm số cosin, trong chương sau ta sẽ đề cập nhiều đến định lí này.