Bài tập nâng cao · Bài 30
Bài tập nâng cao Phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit · Bài 30
Giải bất phương trình $\log_{(\sqrt{x+2}-\sqrt{x})}2\leq \log_{\sqrt{x+1}}2$.
Xem lời giải
Lời giải
ĐKXĐ: $0<x\neq \frac{1}{4}$. Ta thấy khi $x>\frac{1}{4}$ thì bất phương trình luôn đúng. Xét $0<x<\frac{1}{4}$. Ta có:
$\begin{array}{l} \log_{(\sqrt{x+2}-\sqrt{x})}2\leq \log_{\sqrt{x+1}}2\Leftrightarrow \frac{1}{\log_{(\sqrt{x+2}-\sqrt{x})}2}\geq \frac{1}{\log_{\sqrt{x+1}}2}\Leftrightarrow \log_{2}(\sqrt{x+2}-\sqrt{x})\geq \log_{2}\sqrt{x+1} \\ \Leftrightarrow \sqrt{x+2}-\sqrt{x}\geq \sqrt{x+1}\Leftrightarrow \frac{-3-2\sqrt{3}}{3}\leq x\leq \frac{-3+2\sqrt{3}}{3}. \end{array}$
Kết hợp với điều kiện suy ra tập nghiệm của bất phương trình là
$S=\left( 0;\frac{-3+2\sqrt{3}}{3} \right]\cup \left( \frac{1}{4};+\infty \right)$
$\begin{array}{l} \log_{(\sqrt{x+2}-\sqrt{x})}2\leq \log_{\sqrt{x+1}}2\Leftrightarrow \frac{1}{\log_{(\sqrt{x+2}-\sqrt{x})}2}\geq \frac{1}{\log_{\sqrt{x+1}}2}\Leftrightarrow \log_{2}(\sqrt{x+2}-\sqrt{x})\geq \log_{2}\sqrt{x+1} \\ \Leftrightarrow \sqrt{x+2}-\sqrt{x}\geq \sqrt{x+1}\Leftrightarrow \frac{-3-2\sqrt{3}}{3}\leq x\leq \frac{-3+2\sqrt{3}}{3}. \end{array}$
Kết hợp với điều kiện suy ra tập nghiệm của bất phương trình là
$S=\left( 0;\frac{-3+2\sqrt{3}}{3} \right]\cup \left( \frac{1}{4};+\infty \right)$