(CTST 11) Chứng minh các đẳng thức lượng giác sau:
a) $\frac{\sin^{3}\alpha+\cos^{3}\alpha}{\sin\alpha+\cos\alpha}=1-\sin\alpha\cos\alpha$;
b) $\frac{1+\tan\alpha}{1-\tan\alpha}+\frac{1+\cot\alpha}{1-\cot\alpha}=0$.

Question

Dạng 2. Áp dụng tính chất của giá trị lượng giác Phương pháp: Giả sử $M$ có toạ độ $(x;y)$. Ta có: $\cos\alpha =x;\sin\alpha =y$ $	an\alpha =\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\frac{y}{x}(\cos\alpha =x
eq 0);\cot\alpha =\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}=\frac{x}{y}(\sin\alpha =y
eq 0).$ - $\cos^{2}\alpha +\sin^{2}\alpha =1$ với mọi $\alpha$; - $	an\alpha \cdot \cot\alpha =1$ với $\cos\alpha 
eq 0,\sin\alpha 
eq 0$; - $1+	an^{2}\alpha =\frac{1}{\cos^{2}\alpha}$ với $\cos\alpha 
eq 0$ - $1+\cot^{2}\alpha =\frac{1}{\sin^{2}\alpha}$ với $\sin\alpha 
eq 0$. (CTST 11) Chứng minh các đẳng thức lượng giác sau: a) $\frac{\sin^{3}\alpha+\cos^{3}\alpha}{\sin\alpha+\cos\alpha}=1-\sin\alpha\cos\alpha$; b) $\frac{1+	an\alpha}{1-	an\alpha}+\frac{1+\cot\alpha}{1-\cot\alpha}=0$.

Beedemy · Accepted Answer

Lời giải: a) $\frac{\sin^{3}\alpha+\cos^{3}\alpha}{\sin\alpha+\cos\alpha}=\frac{(\sin\alpha+\cos\alpha)\left( \sin^{2}\alpha-\sin\alpha\cos\alpha+\cos^{2}\alpha ight)}{\sin\alpha+\cos\alpha}$ $=\sin^{2}\alpha-\sin\alpha\cos\alpha+\cos^{2}\alpha=1-\sin\alpha\cos\alpha.$ b) $\begin{array}{ll} \frac{1+	an\alpha}{1-	an\alpha}+\frac{1+\cot\alpha}{1-\cot\alpha} & =\frac{	an\alpha\cot\alpha+	an\alpha}{	an\alpha\cot\alpha-	an\alpha}+\frac{1+\cot\alpha}{1-\cot\alpha} \ & =\frac{	an\alpha(\cot\alpha+1)}{	an\alpha(\cot\alpha-1)}+\frac{1+\cot\alpha}{1-\cot\alpha}=\frac{\cot\alpha+1}{\cot\alpha-1}-\frac{1+\cot\alpha}{\cot\alpha-1}=0. \end{array}$

Bài tự luận Giá trị lượng giác của góc lượng giác · Bài 33