(CD 11) Cho $\sin\alpha+\cos\alpha=\frac{1}{3}$ với $-\frac{\pi}{2}

Question

Dạng 2. Áp dụng tính chất của giá trị lượng giác Phương pháp: Giả sử $M$ có toạ độ $(x;y)$. Ta có: $\cos\alpha =x;\sin\alpha =y$ $	an\alpha =\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\frac{y}{x}(\cos\alpha =x
eq 0);\cot\alpha =\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}=\frac{x}{y}(\sin\alpha =y
eq 0).$ - $\cos^{2}\alpha +\sin^{2}\alpha =1$ với mọi $\alpha$; - $	an\alpha \cdot \cot\alpha =1$ với $\cos\alpha 
eq 0,\sin\alpha 
eq 0$; - $1+	an^{2}\alpha =\frac{1}{\cos^{2}\alpha}$ với $\cos\alpha 
eq 0$ - $1+\cot^{2}\alpha =\frac{1}{\sin^{2}\alpha}$ với $\sin\alpha 
eq 0$. (CD 11) Cho $\sin\alpha+\cos\alpha=\frac{1}{3}$ với $-\frac{\pi}{2} < \alpha < 0$. Tính: a) $A=\sin\alpha\cdot \cos\alpha$; b) $B=\sin\alpha-\cos\alpha$; c) $C=\sin^{3}\alpha+\cos^{3}\alpha$ d) $D=\sin^{4}\alpha+\cos^{4}\alpha$.

Beedemy · Accepted Answer

Lời giải: a) Do $\sin\alpha+\cos\alpha=\frac{1}{3}$ nên $(\sin\alpha+\cos\alpha)^{2}=\frac{1}{9}$ hay $1+2\sin\alpha\cos\alpha=\frac{1}{9}$. Suy ra $A=\sin\alpha\cdot \cos\alpha=-\frac{4}{9}$. b) Xét $B^{2}=(\sin\alpha-\cos\alpha)^{2}=1-2\sin\alpha\cos\alpha=1+\frac{8}{9}=\frac{17}{9}$. Do $-\frac{\pi}{2} < \alpha < 0$ nên $\sin\alpha < 0,\cos\alpha>0$. Do đó $B=\sin\alpha-\cos\alpha < 0$. Vậy $B=-\frac{\sqrt{17}}{3}$. c) $C=\sin^{3}\alpha+\cos^{3}\alpha=(\sin\alpha+\cos\alpha)^{3}-3\sin\alpha\cos\alpha(\sin\alpha+\cos\alpha)=\frac{13}{27}$. d) Ta có: $D=\sin^{4}\alpha+\cos^{4}\alpha=1-2\sin^{2}\alpha\cos^{2}\alpha=\frac{49}{81}$.

Bài tự luận Giá trị lượng giác của góc lượng giác · Bài 32