(Mã 0104 - BGD 2025) Mô hình toán học sau đây được sử dụng trong quan sát chuyển động của một vật. Trong không gian cho hệ tọa độ $Oxyz$ có $\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}$ lần lượt là các vectơ đơn vị trên các trục $Ox, Oy, Oz$ và độ dài của mỗi vectơ đơn vị bằng 1 mét. Cho hai điểm $A$ và $B$, trong đó điểm $A$ có tọa độ là $(7;7;0)$. Một vật (coi như là một hạt) chuyển động thẳng với tốc độ phụ thuộc thời gian $t$ (giây) theo công thức $v(t)=\beta t+300$ (m/giây), trong đó $\beta$ là hằng số dương và $0 \leq t \leq 6$. Ở thời điểm ban đầu $(t=0)$, vật đi qua $A$ với tốc độ $300$ (m/giây) và hướng tới $B$. Sau 2 giây kể từ thời điểm ban đầu, vật đi được quãng đường $606$ mét. Gọi $\vec{u}=(a;b;c)$ là vectơ cùng hướng với $\vec{AB}$. Biết rằng $|\vec{u}|=1$ và góc giữa vectơ $\vec{u}$ và các vectơ $\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}$ có số đo tương ứng bằng $60^{\circ}, 60^{\circ}, 45^{\circ}$.

Question

Beedemy · Accepted Answer

a. $a=\cos 60^{\circ}$. Đúng. b. Phương trình đường thẳng $AB$ là $\frac{x-7}{1}=\frac{y-7}{1}=\frac{z}{2}$. Sai. c. $\beta =3$. Đúng. d. Giả sử sau 5 giây kể từ thời điểm ban đầu, vật đến điểm $B(x_B; y_B; z_B)$. Khi đó $x_B > 776$. Sai. Lời giải: a) Đúng b) Sai c) Đúng d) Sai Lời giải a) $\vec{u} = (\cos 60^{\circ}; \cos 60^{\circ}; \cos 45^{\circ})$. Vậy $a=\cos 60^{\circ}$. b) $\vec{u} = (\frac{1}{2}; \frac{1}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{1}{2}(1;1;\sqrt{2})$. Phương trình chính tắc: $\frac{x-7}{1}=\frac{y-7}{1}=\frac{z}{\sqrt{2}}$. c) $s(2) = \int_{0}^{2} (\beta t + 300) dt = \left[ \frac{1}{2}\beta t^2 + 300t \right]_0^2 = 2\beta + 600$. $2\beta + 600 = 606 \Rightarrow \beta = 3$. d) Quãng đường sau 5 giây: $s(5) = \int_{0}^{5} (3t + 300) dt = \frac{3}{2} \cdot 25 + 1500 = 37,5 + 1500 = 1537,5$ m. $B(7+t; 7+t; t\sqrt{2})$. $\vec{AB} = (t;t;t\sqrt{2})$. $AB = \sqrt{t^2+t^2+2t^2} = t\sqrt{4} = 2t$. $2t = 1537,5 \Rightarrow t = 768,75$. $x_B = 7+768,75 = 775,75 < 776$.

Cùng dạng: Vectơ chỉ phương và phương trình tham số, chính tắc của đường thẳng trong không gian