Cho hình chóp $S.ABCD$. $M$, $N$ là hai điểm trên đoạn $AB$, $CD$. Mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ qua $MN$ và song song với $SA$.
a) Xác định thiết diện của hình chóp với mặt phẳng $\left( \alpha \right)$.
b) Tìm điều kiện của $MN$ để thiết diện là hình thang.

Question

DẠNG 3. THIẾT DIỆN ĐI QUA MỘT ĐIỂM VÀ SONG SONG VỚI MỘT ĐƯỜNG THẲNG Định nghĩa thiết diện: Thiết diện (mặt cắt) là một đa giác phẳng thu được khi cắt một khối chóp bằng một mặt phẳng. (Các cạnh của đa giác thu được là các đoạn giao tuyến của mặt phẳng với mặt bên hoặc mặt đáy của hình chóp). Phương pháp: Tìm thiết diện của một hình chóp với một mặt phẳng $\left( P \right)$: Bước 1: Từ điểm chung có sẵn, xác định giao tuyến đầu tiên của $\left( P \right)$ với một mặt của hình chóp (có thể là mặt phẳng trung gian). Bước 2: Cho giao tuyến vừa tìm được cắt các cạnh của mặt đó của hình chóp, ta sẽ được các điểm chung mới của $\left( P \right)$ với các mặt khác. Từ đó xác định được giao tuyến với các mặt này. Bước 3: Tiếp tục như trên tới khi các giao tuyến khép kín ta được thiết diện. Chú ý: + Thiết diện của một khối chóp là một đa giác bao quanh viền ngoài khối chóp, không có đường thẳng nào đâm xuyên bên trong khối chóp đó. + Có thể tìm thiết diện bằng phương pháp dựng giao điểm. Cho hình chóp $S.ABCD$. $M$, $N$ là hai điểm trên đoạn $AB$, $CD$. Mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ qua $MN$ và song song với $SA$. a) Xác định thiết diện của hình chóp với mặt phẳng $\left( \alpha \right)$. b) Tìm điều kiện của $MN$ để thiết diện là hình thang.

Beedemy · Accepted Answer

Lời giải: [IMAGE:question_images/11-12. DUONG THANG SONG SONG MP/F. BAI TAP NANG CAO/image603.png] a) Xác định thiết diện của hình chóp với mặt phẳng $\left( \alpha ight)$. Ta có : $\left\{ \begin{array}{l} M\in\left( \alpha ight)\cap\left( SAB ight) \ \left( \alpha ight)\parallel SA,SA\subset\left( SAB ight) \end{array} ight.\Rightarrow \left( \alpha ight)\cap\left( SAB ight)=MP$ (với $MP\parallel SA,P\in SB$). Gọi $R=MN\cap AC\,\,\left( MN,AC\subset\left( ABCD ight) ight)$. Ta có: $\left\{ \begin{array}{l} R\in\left( \alpha ight)\cap\left( SAC ight) \ \left( \alpha ight)\parallel SA,SA\subset\left( SAC ight) \end{array} ight.\Rightarrow \left( \alpha ight)\cap\left( SAC ight)=RQ$ (với $RQ\parallel SA,Q\in SC$) Vậy thiết diện của hình chóp với mặt phẳng $\left( \alpha ight)$ là tứ giác $MPQN$ b) Tìm điều kiện của $MN$ để thiết diện là hình thang. Ta có $MPQN$ là hình thang $\Rightarrow \left[ \begin{array}{l} MP\parallel QN\,\,\left( 1 ight) \ MN\parallel PQ\,\,\left( 2 ight) \end{array} ight.$ Xét (1) ta có $\left\{ \begin{array}{l} SA\parallel MP \ MP\parallel QN \end{array} ight.\Rightarrow SA\parallel QN$. Do đó: $\left\{ \begin{array}{l} SA\parallel QN \ QN\subset\left( SCD ight) \end{array} ight.\Rightarrow SA\parallel\left( SCD ight)$ (vô lí). Xét (2) ta có $\left\{ \begin{array}{l} BC=\left( ABCD ight)\cap\left( SBC ight) \ MN\subset\left( ABCD ight),PQ\subset\left( SBC ight) \end{array} ight.\Rightarrow MN\parallel BC$ . Ngược lại, nếu $MN\parallel BC$ thì $\left\{ \begin{array}{l} PQ=\left( \alpha ight)\cap\left( SBC ight) \ MN\subset\left( \alpha ight),BC\subset\left( SBC ight) \end{array} ight.\Rightarrow MN\parallel PQ$. Vậy để thiết diện là hình thang thì $MN\parallel BC$.

Bài tập nâng cao Đường thẳng và mặt phẳng song song · Bài 25