Cho hình vuông $ABCD$ cạnh $2a$ như hình vẽ bên dưới. Gọi $O$ là tâm của hình vuông, gọi $H, K$ lần lượt là trung điểm của $AD, BC$, đường thẳng $BH$ cắt hai đường thẳng $AC, AK$ lần lượt tại $G$ và $I$.

Question

Beedemy · Accepted Answer

a. Hai vectơ $\overset{\rightarrow}{BK}$, $\overset{\rightarrow}{HD}$ bằng nhau. Đúng. b. $\left| \overset{\rightarrow}{OI} \right|=\frac{1}{4}\left| \overset{\rightarrow}{AB} \right|$. Đúng. c. $\overset{\rightarrow}{OG}=-\frac{1}{8}\overset{\rightarrow}{AC}$. Sai. d. Độ dài vectơ $\overset{\rightarrow}{GI}$ bằng $\frac{a\sqrt{5}}{6}$. Đúng. Lời giải: a) Nhận thấy $\overset{\rightarrow}{BK}=\frac{1}{2}\overset{\rightarrow}{BC}$ và $\overset{\rightarrow}{HD}=\frac{1}{2}\overset{\rightarrow}{AD}$, mà $\overset{\rightarrow}{BC}=\overset{\rightarrow}{AD}$ suy ra $\overset{\rightarrow}{BK}=\overset{\rightarrow}{HD}$. Vậy a đúng. b) Nhận thấy $ABKH$ là hình chữ nhật, suy ra $I$ là trung điểm của $BH$. Từ đó suy ra $OI$ là đường trung bình của tam giác $BHD$, suy ra $\left| \overset{\rightarrow}{OI} \right|=OI=\frac{1}{2}HD=\frac{1}{4}AD=\frac{1}{4}a$ và $\left| \overset{\rightarrow}{AB} \right|=AB=a$. Vậy b đúng. c) Nhận thấy $G$ là trọng tâm của tam giác $ABD$, suy ra $OG=\frac{1}{3}AO=\frac{1}{6}AC$. Mà hai vectơ $\overset{\rightarrow}{OG}$, $\overset{\rightarrow}{AC}$ ngược hướng, suy ra $\overset{\rightarrow}{OG}=-\frac{1}{6}\overset{\rightarrow}{AC}$. Vậy c sai. d) Áp dụng định lý Pythagore cho tam giác vuông $ABH$: $BH^2 = AB^2 + AH^2 = 5a^2 \Rightarrow BH=a\sqrt{5}$. Ta có: $GI=HI-HG=\frac{1}{2}BH-\frac{1}{3}BH=\frac{1}{6}BH \Rightarrow \left| \overset{\rightarrow}{GI} \right|=\frac{a\sqrt{5}}{6}$. Vậy d đúng.