Cho tam giác $ ABC $ đều cạnh 1 và $ G $ là trọng tâm. Gọi I là trung điểm của AG. Độ dài của vectơ $ \overset\rightarrow { BI } $ bằng $ \frac { \sqrt[] { a } } { b };a≥0,b≠0 $. Tính $ a+b $

Ta có: $ \|\overset→ { AB }\|=AB=1 $ Gọi M là trung điểm của BC $ ⇒BM=\frac { 1 } { 2 }BC=\frac { 1 } { 2 } $. Tam giác $ ABM $ vuông tại $ M $ nên $ AM=\sqrt[] { AB ^ { 2 } -BM ^ { 2 } }=\sqrt[] { 1 ^ { 2 } -\frac { 1 ^ { 2 } } { 4 } }=\frac { a\sqrt[] { 3 } } { 2 } $có $ \|\overset→ { AG }\|=AG=\frac { 2 } { 3 }AM=\frac { 2 } { 3 }⋅\frac { \sqrt[] { 3 } } { 2 }=\frac { \sqrt[] { 3 } } { 3 } $ Mà I là trung điểm AG nên $ MI=AG=\frac { \sqrt[] { 3 } } { 3 } \\ \|\overset→ { BI }\|=BI=\sqrt[] { BM ^ { 2 } +MI ^ { 2 } }=\sqrt[] { \frac { 1 } { 4 }+\frac { 1 } { 3 } }=\frac { \sqrt[] { 21 } } { 6 } $ Vậy $ 21+6=27 $