Bài tập nâng cao · Bài 82
Dạng 3. Xác suất liên quan hình học, đại số
Bài tập nâng cao Biến cố và định nghĩa cổ điển của xác suất · Bài 82
Cho đa giác đều 20 đỉnh $A_{1}A_{2}\ldots A_{20}$ nội tiếp đường tròn tâm O. Người ta tô màu ngẫu nhiên mỗi tam giác $OA_{i}A_{ i+1 }$ ($i=1,2,\ldots ,n$ và xem $A_{ n+1 } ≡A_{1}$) bởi một trong 6 màu: Xanh, Đỏ, Tím, Vàng, Cam và Lam. Tính xác suất để tô các tam giác $OA_{i}A_{ i+1 }$ đó sao cho hai miền kề nhau được tô bởi 2 màu khác nhau. Chọn kết quả gần đúng nhất.
Xem lời giải
Lời giải
Số cách tô ngẫu nhiên 20 tam giác bởi 6 màu là :$6^{20}$, suy ra số phần tử của không gian mẫu phép thử là : $\left| Ω \right|=6^{20}$.
Gọi biến cố A : ‘tô 20 tam giác $OA_{i}A_{ i+1 }$ bởi một trong sáu màu thỏa mãn hai miền kề nhau được tô bởi 2 màu khác nhau”
Kí hiệu $S_{20}$ là số cách tô 20 tam giác $OA_{i}A_{ i+1 }$ bởi một trong sáu màu sao cho hai miền kề nhau được tô bởi 2 màu khác nhau.
Số cách tô màu tam giác $OA_{1}A_{2}$ là 6 ; số cách tô màu tam giác $OA_{2}A_{3}$ là 5 ; số cách tô màu tam giác $OA_{3}A_{4}$ là 5 ;… ;số cách tô màu tam giác $OA_{20}A_{1}$ là 5. Ta có $6.5^{19}$ cách tô, nhưng trong đó có những cách tô không thỏa đề là hai tam giác $\Delta OA_{1}A_{2}$ và $\Delta OA_{20}A_{1}$ cùng màu, khi đó ta xem hai tam giác $OA_{1}A_{2}$ và $OA_{20}A_{1}$ như một tam giác ( bỏ qua $A_{1}$) thì ta có
$S_{20}=6.5^{19} -S_{19}$ ( với $S_{19}$ là số cách tô 19 tam giác $OA_{i}A_{ i+1 }$ bởi một trong sáu màu sao cho hai miền kề nhau được tô bởi 2 màu khác nhau)
Tương tự: $S_{19}=6.5^{18} -S_{18},\ldots ,S_{3}=6.5^{2} -S_{2},S_{2}=6.5=30$
Vậy: $S_{20}=6.5^{19} -6.5^{18} +6.5^{17} -\ldots +6.5^{3} -6.5^{2} +6.5=6\left( 5-5^{2} +5^{3} -\ldots +5^{19} \right)=5^{20} +5$
Suy ra $\left| Ω_{A}\right|=5^{20} +5$.
Kết luận: xác suất cần tìm là: $P\left( A \right)=\frac{5^{20} +5}{6^{20} }\approx 0,0261$.
Gọi biến cố A : ‘tô 20 tam giác $OA_{i}A_{ i+1 }$ bởi một trong sáu màu thỏa mãn hai miền kề nhau được tô bởi 2 màu khác nhau”
Kí hiệu $S_{20}$ là số cách tô 20 tam giác $OA_{i}A_{ i+1 }$ bởi một trong sáu màu sao cho hai miền kề nhau được tô bởi 2 màu khác nhau.
Số cách tô màu tam giác $OA_{1}A_{2}$ là 6 ; số cách tô màu tam giác $OA_{2}A_{3}$ là 5 ; số cách tô màu tam giác $OA_{3}A_{4}$ là 5 ;… ;số cách tô màu tam giác $OA_{20}A_{1}$ là 5. Ta có $6.5^{19}$ cách tô, nhưng trong đó có những cách tô không thỏa đề là hai tam giác $\Delta OA_{1}A_{2}$ và $\Delta OA_{20}A_{1}$ cùng màu, khi đó ta xem hai tam giác $OA_{1}A_{2}$ và $OA_{20}A_{1}$ như một tam giác ( bỏ qua $A_{1}$) thì ta có
$S_{20}=6.5^{19} -S_{19}$ ( với $S_{19}$ là số cách tô 19 tam giác $OA_{i}A_{ i+1 }$ bởi một trong sáu màu sao cho hai miền kề nhau được tô bởi 2 màu khác nhau)
Tương tự: $S_{19}=6.5^{18} -S_{18},\ldots ,S_{3}=6.5^{2} -S_{2},S_{2}=6.5=30$
Vậy: $S_{20}=6.5^{19} -6.5^{18} +6.5^{17} -\ldots +6.5^{3} -6.5^{2} +6.5=6\left( 5-5^{2} +5^{3} -\ldots +5^{19} \right)=5^{20} +5$
Suy ra $\left| Ω_{A}\right|=5^{20} +5$.
Kết luận: xác suất cần tìm là: $P\left( A \right)=\frac{5^{20} +5}{6^{20} }\approx 0,0261$.