Đúng/Sai · Câu 35
(Sở Gia Lai 2025) Một nhà sản xuất muốn thiết kế một hộp đựng kẹo dạng hình tròn xoay gồm hai phần: Phần thứ nhất được tạo thành khi quay “nửa” hình elip quanh một trục; phần thứ hai là nửa hình cầu có bán kính bằng 4 cm. Nếu xét trong hệ trục tọa độ Oxy, đơn vị trên trục là cm thì "nửa" hình elip quay quanh trục Ox để tạo thành phần thứ nhất có phương trình là $ \frac { x ^ { 2 } } { 64 }+\frac { y ^ { 2 } } { 16 }=1 $ với $ -8\leq x\leq 0 $ (xem hình minh họa).
Chọn Đúng hoặc Sai cho từng ý.
Xem đáp án và lời giải
Kết quả từng mệnh đề
- a. Sai
- b. Đúng
- c. Sai
- d. Sai
Lời giải
a) Sai. Thể tích của phần không gian “chứa” trong phần thứ hai (nửa khối cầu) bằng $ \frac { 1 } { 2 }.\frac { 4 } { 3 }\pi .4 ^ { 3 } =\frac { 128\pi } { 3 } $ (cm³).
b) Đúng. Ta có $ \frac { x ^ { 2 } } { 64 }+\frac { y ^ { 2 } } { 16 }=1⇔y ^ { 2 } =16-\frac { x ^ { 2 } } { 4 }⇔y=±\sqrt[] { 16-\frac { x ^ { 2 } } { 4 } } $.
Suy ra đường thuộc góc phần tư thứ hai trong hệ trục $ Oxy $ là đồ thị của hàm số
$ y=\sqrt[] { 16-\frac { x ^ { 2 } } { 4 } },-8\leq x\leq 0 $.
c) Sai. Phần không gian “chứa” trong phần thứ nhất sinh bởi hình phẳng giới hạn bởi các đường $ y=\sqrt[] { 16-\frac { x ^ { 2 } } { 4 } },y=0,x=-8,x=0 $ quay xung quanh trục hoành.
Thể tích của phần không gian này được tính bởi công thức
$ V=\pi \int _{ -8 }^{ 0 } { \left ( { \sqrt[] { 16-\frac { x ^ { 2 } } { 4 } } } \right ) ^ { 2 } }{ \rm{ d } }x=\pi \int _{ -8 }^{ 0 } { \left ( { 16-\frac { x ^ { 2 } } { 4 } } \right ) }{ \rm{ d } }x $ (cm³).
d) Sai. Thể tích của phần không gian “chứa” trong phần thứ nhất là
$ V=\pi \int _{ -8 }^{ 0 } { \left ( { 16-\frac { x ^ { 2 } } { 4 } } \right ) }{ \rm{ d } }x=\pi \left | { \left ( { 16x-\frac { x ^ { 3 } } { 12 } } \right ) } \right ._{ -8 } ^{ 0 }=\frac { 256\pi } { 3 } $.
Thể tích phần không gian bên trong của hộp đựng kẹo cần thiết kế là $ \frac { 128\pi } { 3 }+\frac { 256\pi } { 3 }=128\pi $ (cm³).