Bài tập nâng cao · Bài 38
Bài tập nâng cao Tập hợp và các phép toán trên tập hợp · Bài 38
Có 30 học sinh trong kí túc xá, 15 học sinh học Mĩ thuật, 8 học sinh học Sinh học, 6 học sinh học Hoá học. Biết rằng có 3 học sinh tham gia cả 3 khoá học. Chứng minh có ít nhất 7 học sinh không tham gia khoá học nào.
Xem lời giải
Lời giải
Gọi $A, B, C$ lần lượt là tập hợp các học sinh học Mĩ thuật, Sinh học, Hoá học. Theo đề bài, ta cần chứng minh rằng $\left|A \cup B \cup C\right| \leq 30-7=23$.
Ta có $\left|A\right|=15$, $\left|B\right|=8$, $\left|C\right|=6$ và $\left|A \cap B \cap C\right|=3$.
Suy ra
$\left|A \cup B \cup C\right|=\left|A\right|+\left|B\right|+\left|C\right|-\left(\left|A \cap B\right|+\left|B \cap C\right|+\left|C \cap A\right|\right)+\left|A \cap B \cap C\right|$
$\leq \left|A\right|+\left|B\right|+\left|C\right|-\left(\left|A \cap B \cap C\right|+\left|A \cap B \cap C\right|+\left|A \cap B \cap C\right|\right)+\left|A \cap B \cap C\right|$
$=\left|A\right|+\left|B\right|+\left|C\right|-2\left|A \cap B \cap C\right|=23$.
Ta có $\left|A\right|=15$, $\left|B\right|=8$, $\left|C\right|=6$ và $\left|A \cap B \cap C\right|=3$.
Suy ra
$\left|A \cup B \cup C\right|=\left|A\right|+\left|B\right|+\left|C\right|-\left(\left|A \cap B\right|+\left|B \cap C\right|+\left|C \cap A\right|\right)+\left|A \cap B \cap C\right|$
$\leq \left|A\right|+\left|B\right|+\left|C\right|-\left(\left|A \cap B \cap C\right|+\left|A \cap B \cap C\right|+\left|A \cap B \cap C\right|\right)+\left|A \cap B \cap C\right|$
$=\left|A\right|+\left|B\right|+\left|C\right|-2\left|A \cap B \cap C\right|=23$.