Bài tập nâng cao · Bài 59
DẠNG 5. TẬP HỢP ĐIỂM Dạng 1: $\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=k$ $(1)$ ($A,B$ là hai điểm cố định). $-\quad k=0$: Tập hợp các điểm $M$ là đường tròn đường kính $AB$. $-\quad k\ne0$: Gọi $I$ là trung điểm của $AB$. $(1)\Leftrightarrow(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA})\cdot(\overrightarrow{MI}-\overrightarrow{IA})=k\Leftrightarrow MI^2-IA^2=k\Leftrightarrow MI^2=k+\dfrac{AB^2}{4}$. $+\quad$ Nếu $k+\dfrac{AB^2}{4}>0\Leftrightarrow k>-\dfrac{AB^2}{4}$: Tập hợp các điểm $M$ là đường tròn tâm $I$, bán kính $\sqrt{k+\dfrac{AB^2}{4}}$. $+\quad$ Nếu $k+\dfrac{AB^2}{4}=0\Leftrightarrow k=-\dfrac{AB^2}{4}$: Tập hợp điểm $M$ là điểm $I$. $+\quad$ Nếu $k+\dfrac{AB^2}{4}<0\Leftrightarrow k<-\dfrac{AB^2}{4}$: Tập hợp các điểm $M$ là rỗng. Dạng 2: $\overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow v=k$ $(2)$ ($A$ cố định, $\overrightarrow v$ có hướng, độ dài xác định). $k=0$: Tập hợp các điểm $M$ là đường thẳng qua $A$ và vuông góc với giá của $\overrightarrow v$. $k\ne0$: Gọi $\overrightarrow{A'M'}$ là hình chiếu của $\overrightarrow{AM}$ trên giá của vectơ $\overrightarrow v$; ta có: $(2)\Leftrightarrow\overrightarrow{A'M'}\cdot\overrightarrow v=k$ (định lí hình chiếu). $A'$ cố định $\Rightarrow M'$ cố định ($M'$ nằm trên giá của $\overrightarrow v$ định bởi $A'M'=\dfrac{k}{v}$). Tập hợp các điểm $M$ là đường thẳng vuông góc với giá của vectơ $\overrightarrow v$ tại $M'$. [IMAGE:question_images/10-16. TICH VO HUONG/F. BAI TAP NANG CAO/image691.png] [IMAGE:question_images/10-16. TICH VO HUONG/F. BAI TAP NANG CAO/image692.png] Dạng 3: $\alpha MA^2+\beta MB^2=k$ $(3)$ ($A,B$ cố định, $\alpha,\beta$ là hằng số và $\alpha+\beta\ne0$). Gọi $I$ là điểm thỏa $\alpha\overrightarrow{IA}+\beta\overrightarrow{IB}=\overrightarrow0\Rightarrow I$ là điểm cố định. $(3)\Leftrightarrow\alpha(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA})^2+\beta(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB})^2=k$ $\Leftrightarrow(\alpha+\beta)MI^2+2(\alpha\overrightarrow{IA}+\beta\overrightarrow{IB})\cdot\overrightarrow{MI}+\alpha IA^2+\beta IB^2=k$ $\Leftrightarrow(\alpha+\beta)MI^2=k-(\alpha IA^2+\beta IB^2)$ $\Leftrightarrow MI^2=\dfrac{k-(\alpha IA^2+\beta IB^2)}{\alpha+\beta}$. Nếu $\dfrac{k-(\alpha IA^2+\beta IB^2)}{\alpha+\beta}>0$: Tập hợp điểm $M$ là đường tròn tâm $I$, bán kính $\sqrt{\dfrac{k-(\alpha IA^2+\beta IB^2)}{\alpha+\beta}}$. Nếu $\dfrac{k-(\alpha IA^2+\beta IB^2)}{\alpha+\beta}=0\Leftrightarrow k=\alpha IA^2+\beta IB^2$: Tập hợp điểm $M$ là điểm $I$. Nếu $\dfrac{k-(\alpha IA^2+\beta IB^2)}{\alpha+\beta}<0$: Tập hợp điểm $M$ là rỗng. Chú ý: Để giải các bài toán thuộc loại trên, ta nên thu gọn biểu thức đã cho bằng cách sử dụng công thức thu gọn vectơ dưới đây: $-\quad$ Cho hai điểm $A,B$ cố định, $\alpha,\beta$ là hằng số thỏa $\alpha+\beta\ne0$ thì tồn tại duy nhất một điểm $I$ sao cho $\alpha\overrightarrow{IA}+\beta\overrightarrow{IB}=\overrightarrow0$. Nếu với điểm $M$ tùy ý trong mặt phẳng thì ta có: $\alpha\overrightarrow{MA}+\beta\overrightarrow{MB}=(\alpha+\beta)\overrightarrow{MI}$. $-\quad$ Cho ba điểm $A,B,C$ cố định, $\alpha,\beta,\chi$ là hằng số thỏa $\alpha+\beta+\chi\ne0$ thì tồn tại duy nhất một điểm $I$ sao cho $\alpha\overrightarrow{IA}+\beta\overrightarrow{IB}+\chi\overrightarrow{IC}=\overrightarrow0$. Nếu với điểm $M$ tùy ý trong mặt phẳng thì ta có: $\alpha\overrightarrow{MA}+\beta\overrightarrow{MB}+\chi\overrightarrow{MC}=(\alpha+\beta+\chi)\overrightarrow{MI}$.
Bài tập nâng cao Tích vô hướng của hai vectơ · Bài 59
a) $\overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{BC}-2\overrightarrow{BM}\cdot\overrightarrow{CA}+2\overrightarrow{CM}\cdot\overrightarrow{AB}=k$;
b) $\overrightarrow{BM}\cdot\overrightarrow{CM}-2\overrightarrow{CM}\cdot\overrightarrow{AM}+2\overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{BM}=k$,
với $k$ là một số cho trước.
Xem lời giải
Lời giải
$\overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{BC}-2\overrightarrow{BM}\cdot\overrightarrow{CA}+2\overrightarrow{CM}\cdot\overrightarrow{AB}$
$=\overrightarrow{AM}\cdot(\overrightarrow{BC}-2\overrightarrow{CA}+2\overrightarrow{AB})-4\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}$.
Lấy điểm cố định $D$ sao cho
$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}-2\overrightarrow{CA}+2\overrightarrow{AB}$.
Điều kiện trở thành
$\overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{AD}=k+4\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}$.
Gọi $M'$ là hình chiếu của $M$ trên $AD$. Khi đó $M'$ là điểm cố định trên đường thẳng $AD$, xác định theo hướng bởi
$\overrightarrow{AM'}\cdot\overrightarrow{AD}=k+4\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}$.
Vậy quỹ tích điểm $M$ là đường thẳng qua $M'$ và vuông góc với $AD$.
b) Dùng các đẳng thức tích vô hướng theo độ dài, ta được
$\overrightarrow{BM}\cdot\overrightarrow{CM}-2\overrightarrow{CM}\cdot\overrightarrow{AM}+2\overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{BM}$
$=\dfrac32MB^2-\dfrac12MC^2-\dfrac12BC^2+CA^2-AB^2$.
Do đó điều kiện tương đương với
$3MB^2-MC^2=2k+BC^2-2CA^2+2AB^2$.
Gọi $G$ là điểm thỏa mãn $3\overrightarrow{GB}-\overrightarrow{GC}=\overrightarrow0$. Khi đó $GB=\dfrac{BC}{2}$, $GC=\dfrac{3BC}{2}$ và
$3MB^2-MC^2=2MG^2-\dfrac32BC^2$.
Đặt $a=BC$, $b=CA$, $c=AB$. Ta thu được
$MG^2=k+\dfrac{5a^2}{4}-b^2+c^2$.
- Nếu $k<-\dfrac{5a^2}{4}+b^2-c^2$, quỹ tích là rỗng.
- Nếu $k=-\dfrac{5a^2}{4}+b^2-c^2$, quỹ tích chỉ gồm điểm $G$.
- Nếu $k>-\dfrac{5a^2}{4}+b^2-c^2$, quỹ tích là đường tròn tâm $G$, bán kính $R=\sqrt{k+\dfrac{5a^2}{4}-b^2+c^2}$.