(CD11) Chứng minh rằng:
a) Dãy số $\left( u_n \right)$ với $u_n=\sqrt{n^{2}+1}$ bị chặn dưới;
b) Dãy số $\left( u_n \right)$ với $u_n=-n^{2}-n$ bị chặn trên;
c) Dãy số $\left( u_n \right)$ với $u_n=\frac{2n+1}{n+2}$ bị chặn.

Question

Dạng 3. Xét tính bị chặn của dãy số Phương pháp 1: Chứng minh trực tiếp bằng các phương pháp chứng minh bất đẳng thức Cách 1: Dãy số $(u_n)$ có $u_n=f(n)$ là hàm số đơn giản. Ta chứng minh trực tiếp bất đẳng thức $u_n=f(n)\leq M,\forall n\in \mathbb{N}^{*}$ hoặc $u_n=f(n)\geq m,\forall n\in \mathbb{N}^{*}$ Cách 2: Dãy số $(u_n)$ có $u_n=v_1+v_2+\ldots+v_k+\ldots+v_n$ (tổng hữu hạn) Ta làm trội $v_k\leq a_k-a_{k+1}$ Lúc đó $u_n\leq \left( a_1-a_2 \right)+\left( a_2-a_3 \right)+\ldots\left( a_n-a_{n+1} \right)$ Suy ra $u_n\leq a_1-a_{n+1}\leq M,\forall n\in \mathbb{N}^{*}$ Cách 3: Dãy số $(u_n)$ có $u_n=v_1.v_2v_3\ldots v_n$ với $v_n>0,\forall n\in \mathbb{N}^{*}$ (tích hữu hạn) Ta làm trội $v_k\leq \frac{a_{k+1}}{a_k}$ Lúc đó $u_n\leq \frac{a_2}{a_1}.\frac{a_3}{a_2}\ldots\frac{a_{n+1}}{a_n}$ Suy ra $u_n\leq \frac{a_{n+1}}{a_1}\leq M,\forall n\in \mathbb{N}^{*}$ Phương pháp 2: Dự đoán và chứng minh bằng phương pháp quy nạp. Nếu dãy số $(u_n)$ được cho bởi một hệ thức truy hồi thì ta có thể sử dụng phương pháp quy nạp để chứng minh Chú ý: Nếu dãy số $(u_n)$ giảm thì bị chặn trên, dãy số $(u_n)$ tăng thì bị chặn dưới (CD11) Chứng minh rằng: a) Dãy số $\left( u_n \right)$ với $u_n=\sqrt{n^{2}+1}$ bị chặn dưới; b) Dãy số $\left( u_n \right)$ với $u_n=-n^{2}-n$ bị chặn trên; c) Dãy số $\left( u_n \right)$ với $u_n=\frac{2n+1}{n+2}$ bị chặn.

Beedemy · Accepted Answer

Lời giải: a) Ta có: $\sqrt{n^{2}+1}\geq \sqrt{2}\,\forall n\in \mathbb{N}^{*}$ nên dãy số $\left( u_n \right)$ bị chặn dưới. b) Ta có: $-n^{2}-n\leq -2\,\forall n\in \mathbb{N}^{*}$ nên dãy số $\left( u_n \right)$ bị chặn trên. c) Ta có: $0<\frac{2n+1}{n+2}<2\,\forall n\in \mathbb{N}^{*}$ nên dãy số $\left( u_n \right)$ bị chặn.

Bài tự luận Dãy số · Bài 21