Cho hình lập phương $ ABCD.A'B'C'D' $ cạnh dài $ 1 $ mét. Một đường thẳng $ d $ đi qua $ D' $ và tâm $ I $ của mặt bên $ BCC'B' $. Điểm $ N $ thuộc mặt phẳng $ \left ( { ABCD } \right ) $ và $ M $ thuộc mặt phẳng $ \left ( { BCC'B' } \right ) $ sao cho trung điểm $ K $ của đoạn $ MN $ luôn thuộc đường thẳng $ d $. Chọn hệ trục toạ độ $ Oxyz $ với gốc toạ độ $ O $ tại $ A $; vectơ đơn vị trên trục hoành, trục tung, trục cao tương ứng là $ \overset\rightarrow { AD }, \overset\rightarrow { AB } $, $ \overset\rightarrow { AA' } $ (xem hình minh hoạ).

a) Đúng. Vì gốc toạ độ $ O $ đặt tại điểm $ A $ nên toạ độ điểm $ A\left ( { 0;0;0 } \right ) $. b) Sai. Ta có: $ D'\left ( { 1;0;1 } \right ) $, $ B\left ( { 0;1;0 } \right ) $, $ C'\left ( { 1;1;1 } \right ) $. Vì $ I $ là trung điểm của đoạn thẳng $ BC' $ nên $ I\left ( { \frac { 1 } { 2 };1;\frac { 1 } { 2 } } \right ) $. Khi đó $ \overset\rightarrow { D'I }=\left ( { -\frac { 1 } { 2 };1;-\frac { 1 } { 2 } } \right ) $. Đường thẳng $ d $ đi qua điểm $ D'\left ( { 1;0;1 } \right ) $ và nhận vectơ $ \overset\rightarrow { a }=\left ( { 1;-2;1 } \right ) $ làm vectơ chỉ phương nên phương trình tham số là $ \left \{ \begin{array}{l} x=1+t \\ y=-2t \\ z=1+t \end{array} \right.,\,\,t\in \mathbb{R} $. Phương trình tham số của đường thẳng đề cho là $ \left \{ \begin{array}{l} x=t \\ y=-2t \\ z=t \end{array} \right.,\,\,t\in \mathbb{R} $ đi qua gốc toạ độ $ O\left ( { 0;0;0 } \right ) $. Thế toạ độ điểm $ O\left ( { 0;0;0 } \right ) $ vào phương trình $ \left \{ \begin{array}{l} x=1+t \\ y=-2t \\ z=1+t \end{array} \right. $ không thoả mãn. c) Sai. Ta có mặt phẳng $ \left ( { Oxz } \right ) $ có phương trình là $ y=0 $. Mặt phẳng $ \left ( { BCC'B' } \right ) $ song song với mặt phẳng $ \left ( { Oxz } \right ) $ nên phương trình có dạng $ y+D=0 $ (với $ D\neq 0 $). Mặt khác, mặt phẳng $ \left ( { BCC'B' } \right ) $ đi qua điểm $ B\left ( { 0;1;0 } \right ) $ nên $ 1+D=0⇔D=-1 $. Ta suy ra mặt phẳng $ \left ( { BCC'B' } \right ) $ có phương trình là $ y-1=0 $. Khi đó điểm $ M $ thuộc mặt phẳng $ \left ( { BCC'B' } \right ) $ thì tung độ phải bằng $ 1 $. Theo đề bài, toạ độ của điểm $ M $ có dạng $ \left ( { m;0;n } \right ) $ mâu thuẫn với điều kiện tung độ phải bằng $ 1 $. d) Sai. Mặt phẳng $ \left ( { ABCD } \right ) $ có phương trình là $ z=0 $. Điểm $ N $ thuộc mặt phẳng $ \left ( { ABCD } \right ) $ nên gọi toạ độ điểm $ N $ là $ \left ( { x_{ N } ;y_{ N } ;0 } \right ) $. Điểm $ M $ thuộc mặt phẳng $ \left ( { BCC'B' } \right ) $ nên gọi toạ độ điểm $ M $ là $ \left ( { x_{ M } ;1;z_{ M } } \right ) $. $ K $ là trung điểm của $ MN $ nên $ K\left ( { \frac { x_{ M } +x_{ N } } { 2 };\frac { 1+y_{ N } } { 2 };\frac { z_{ M } } { 2 } } \right ) $. Mặt khác, $ K $ thuộc đường thẳng $ d:\left \{ \begin{array}{l} x=1+t \\ y=-2t \\ z=1+t \end{array} \right. $ nên ta suy ra: $ \frac { x_{ M } +x_{ N } } { 2 }=1+t⇔x_{ M } +x_{ N } =2\left ( { 1+t } \right ) $; $ \frac { 1+y_{ N } } { 2 }=-2t⇔y_{ N } =-4t-1 $; $ \frac { z_{ M } } { 2 }=1+t⇔z_{ M } =2\left ( { 1+t } \right ) $. Ta có $ M\left ( { x_{ M } ;\,\,1;\,\,2\left ( { 1+t } \right ) } \right ) $, $ N\left ( { x_{ N } ;\,\,-4t-1;\,\,0 } \right ) $; $ MN ^ { 2 } =\left ( { x_{ M } -x_{ N } } \right ) ^ { 2 } +\left ( { 4t+2 } \right ) ^ { 2 } +\left ( { 2t+2 } \right ) ^ { 2 } $ $ MN ^ { 2 } $ nhỏ nhất khi và chỉ khi $ \left ( { x_{ M } -x_{ N } } \right ) ^ { 2 } $ nhỏ nhất. Ta có: $ x_{ M } +x_{ N } =2\left ( { 1+t } \right ) $ nên $ x_{ M } -x_{ N } =x_{ M } -\left[ 2\left ( { 1+t } \right )-x_{ M } \right]=2x_{ M } -2\left ( { 1+t } \right ) $. $ ⇒\left ( { x_{ M } -x_{ N } } \right ) ^ { 2 } =\left[ 2x_{ M } -2\left ( { 1+t } \right ) \right] ^ { 2 } =4\left[ x_{ M } -\left ( { 1+t } \right ) \right] ^ { 2 } $. Khi đó đó $ \left ( { x_{ M } -x_{ N } } \right ) ^ { 2 } $ nhỏ nhất khi $ x_{ M } =1+t $. Khi đó $ x_{ N } =2\left ( { 1+t } \right )-x_{ M } =2+2t-\left ( { 1+t } \right )=1+t $. Ta suy ra $ x_{ M } =x_{ N } =1+t $. Khi đó $ MN ^ { 2 } =20t ^ { 2 } +24t+8 $. Xét hàm số $ f\left ( { t } \right )=20t ^ { 2 } +24t+8 $. Ta có $ f'\left ( { t } \right )=40t+24 $, $ f'\left ( { t } \right )=0⇔t=-\frac { 3 } { 5 } $. Giá trị nhỏ nhất của $ MN ^ { 2 } $ là $ MN ^ { 2 } =\left ( { 4.\left ( { -\frac { 3 } { 5 } } \right )+2 } \right ) ^ { 2 } +\left ( { 2.\left ( { -\frac { 3 } { 5 } } \right )+2 } \right ) ^ { 2 } =\frac { 4 } { 5 } $. Vậy độ dài ngắn nhất của đoạn $ MN $ là $ \sqrt[] { \frac { 4 } { 5 } }=\frac { 2\sqrt[] { 5 } } { 5 } $ mét.