(Sở Vùng Tàu 2025) Nhân dịp kỷ niệm 50 năm ngày Giải phóng miền Nam thống nhất đất nước (30/04/1975 - 30/04/2025), một nhóm học sinh thiết kế mô hình đài tưởng niệm các anh hùng liệt sĩ, phần mái của mô hình có dạng hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$. Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ (các trục tọa độ có cùng đơn vị độ dài), hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có tâm $O$ của hình vuông $ABCD$ trùng với gốc tọa độ $O(0;0;0)$ và các điểm $A(1;1;0)$, $B(-1;1;0)$, $C(-1;-1;0)$, $S(0;0;2)$ (xem hình minh họa).

Question

Beedemy · Accepted Answer

a. Véc tơ $\vec{SB}(-1;1;-2)$. Đúng. b. Véc tơ $\vec{n}(0;0;1)$ là một véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng $(ABCD)$. Đúng. c. Các cạnh bên $SA, SB, SC, SD$ được làm bằng thanh gỗ để tạo khung đỡ cho phần mái mô hình. Đường thẳng $SB$ tạo với mặt phẳng $(ABCD)$ một góc bằng $53^{\circ}$ (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị). Sai. d. Từ đỉnh $S$ nhóm học sinh này treo một đèn cầu pha lê tâm $I$ bên trong lưu lại hình ảnh chiến thắng lịch sử tại Dinh Độc Lập. Đồng thời, trên cạnh $SB$ chọn điểm $M$ để treo Huy Hiệu Hình Ngôi Sao thỏa mãn $MA+MC$ đạt giá trị nhỏ nhất. Biết rằng, điểm $I$ cách đều tất cả các đỉnh của hình chóp $S.ABCD$. Khi đó, độ dài đoạn $IM$ bằng $\frac{\sqrt{33}}{6}$. Đúng. Lời giải: a) Đúng b) Đúng c) Sai d) Đúng Lời giải a) $\vec{SB} = (-1-0; 1-0; 0-2) = (-1;1;-2)$. b) Mặt phẳng $(ABCD)$ trùng với mặt phẳng $(Oxy)$ nên có véc tơ pháp tuyến là $\vec{n}(0;0;1)$. c) Góc giữa $SB$ và $(ABCD)$ bằng góc giữa $SB$ và $OB$. $SO=2$; $OB=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$. $	an \widehat{SBO} = \frac{SO}{OB} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} \Rightarrow \widehat{SBO} \approx 54,7^{\circ} \approx 55^{\circ}$. d) $I$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp chóp $S.ABCD$. $I \in SO \Rightarrow I(0;0;z)$. $IA=IS \Leftrightarrow 1^2+1^2+z^2 = 0^2+0^2+(2-z)^2 \Leftrightarrow 2+z^2 = 4-4z+z^2 \Leftrightarrow z=\frac{1}{2} \Rightarrow I\left(0;0;\frac{1}{2}ight)$. Phương trình đường thẳng $SB$: $\left\{ \begin{array}{l} x=-t \ y=t \ z=2-2t \end{array} ight.$. $M \in SB \Rightarrow M(-t;t;2-2t)$. Vì chóp đều nên $MA=MC$, do đó $MA+MC$ nhỏ nhất khi $MA$ nhỏ nhất $\Leftrightarrow MA \perp SB$. $\vec{AM} = (-t-1; t-1; 2-2t)$. $\vec{AM} \cdot \vec{SB} = 0 \Leftrightarrow (-t-1)(-1) + (t-1)(1) + (2-2t)(-2) = 0 \Leftrightarrow t+1+t-1-4+4t = 0 \Leftrightarrow 6t=4 \Leftrightarrow t=\frac{2}{3}$. $M\left(-\frac{2}{3}; \frac{2}{3}; \frac{2}{3}ight)$. $IM = \sqrt{\left(-\frac{2}{3}-0ight)^2 + \left(\frac{2}{3}-0ight)^2 + \left(\frac{2}{3}-\frac{1}{2}ight)^2} = \sqrt{\frac{4}{9} + \frac{4}{9} + \frac{1}{36}} = \sqrt{\frac{33}{36}} = \frac{\sqrt{33}}{6}$.