(Sở Vùng Tàu 2025) Nhân dịp kỷ niệm 50 năm ngày Giải phóng miền Nam thống nhất đất nước (30/04/1975 - 30/04/2025), một nhóm học sinh thiết kế mô hình đài tưởng niệm các anh hùng liệt sĩ, phần mái của mô hình có dạng hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$. Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ (các trục tọa độ có cùng đơn vị độ dài), hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có tâm $O$ của hình vuông $ABCD$ trùng với gốc tọa độ $O(0;0;0)$ và các điểm $A(1;1;0)$, $B(-1;1;0)$, $C(-1;-1;0)$, $S(0;0;2)$ (xem hình minh họa).

a
Véc tơ $\vec{SB}(-1;1;-2)$.
b
Véc tơ $\vec{n}(0;0;1)$ là một véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng $(ABCD)$.
c
Các cạnh bên $SA, SB, SC, SD$ được làm bằng thanh gỗ để tạo khung đỡ cho phần mái mô hình. Đường thẳng $SB$ tạo với mặt phẳng $(ABCD)$ một góc bằng $53^{\circ}$ (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).
d
Từ đỉnh $S$ nhóm học sinh này treo một đèn cầu pha lê tâm $I$ bên trong lưu lại hình ảnh chiến thắng lịch sử tại Dinh Độc Lập. Đồng thời, trên cạnh $SB$ chọn điểm $M$ để treo Huy Hiệu Hình Ngôi Sao thỏa mãn $MA+MC$ đạt giá trị nhỏ nhất. Biết rằng, điểm $I$ cách đều tất cả các đỉnh của hình chóp $S.ABCD$. Khi đó, độ dài đoạn $IM$ bằng $\frac{\sqrt{33}}{6}$.

Đáp án và lời giải chỉ hiển thị trong quá trình học.