Bài tập nâng cao · Bài 32
DẠNG 3. MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÍ TA-LÉT Định lí Ta-let trong không gian Ba mặt phẳng song song chắn trên hai đường thẳng những đoạn thẳng tỷ lệ. [IMAGE:question_images/11-13. HAI MP SONG SONG - HINH LANG TRU/F. BAI TAP NANG CAO/image682.png] $\left\{ \begin{array}{l} \left( \alpha \right)\parallel\left( \beta \right)\parallel\left( \gamma \right) \\ d_1\cap\left( \alpha \right)=A_1,\,d_1\cap\left( \beta \right)=B_1,\,d_1\cap\left( \gamma \right)=C_1 \\ d_2\cap\left( \alpha \right)=A_2,\,d_2\cap\left( \beta \right)=B_2,\,d_2\cap\left( \gamma \right)=C_2 \end{array} \right.\Rightarrow \frac{A_1B_1}{B_1C_1}=\frac{A_2B_2}{B_2C_2}$ Định lí đảo của định lí Thales trong không gian. Cho hai đường thẳng $d_1,d_2$ chéo nhau và các điểm $A_1,B_1,C_1\in d_1$ và $A_2,B_2,C_2\in d_2$ sao cho $\frac{A_1B_1}{B_1C_1}=\frac{A_2B_2}{B_2C_2}$ Khi đó các đường thẳng $A_1A_2,B_1B_2,C_1C_2$ cùng song song với một mặt phẳng. Hơn nữa, mặt phẳng này không duy nhất
Bài tập nâng cao Hai mặt phẳng song song · Bài 32
Xem lời giải
Lời giải
Giả sử $I$ là trung điểm của $MN$. Gọi $P,\,\,Q,\,\,R,\,\,S$ lần lượt là trung điểm của $BC,\,\,CA,\,\,AD$ và $DB$. Vì $\frac{PB}{IM}=\frac{PC}{IN}=\frac{BC}{MN}$ nên theo định lí Ta – lét đảo thì $BM,\,\,PI,\,\,CN$ cùng song song với một mặt phẳng, mặt phẳng này song song với $AB$ và $CD$. Gọi $\left( \alpha \right)$ là mặt phẳng qua $P$ và song song với mặt phẳng đó thì rõ ràng $I\in\left( \alpha \right)$. Mặt phẳng này cắt tứ diện $ABCD$ theo thiết diện là hình bình hành $PQRS$. Vì $M$ chỉ chạy trên đoạn $AB$, $N$ chạy trên $CD$ nên điểm $I$ luôn nằm trong tứ diện, tức là $I$ luôn nằm trong hình bình hành $PQRS$.