Bài tập nâng cao · Bài 31
DẠNG 3. MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÍ TA-LÉT Định lí Ta-let trong không gian Ba mặt phẳng song song chắn trên hai đường thẳng những đoạn thẳng tỷ lệ. [IMAGE:question_images/11-13. HAI MP SONG SONG - HINH LANG TRU/F. BAI TAP NANG CAO/image682.png] $\left\{ \begin{array}{l} \left( \alpha \right)\parallel\left( \beta \right)\parallel\left( \gamma \right) \\ d_1\cap\left( \alpha \right)=A_1,\,d_1\cap\left( \beta \right)=B_1,\,d_1\cap\left( \gamma \right)=C_1 \\ d_2\cap\left( \alpha \right)=A_2,\,d_2\cap\left( \beta \right)=B_2,\,d_2\cap\left( \gamma \right)=C_2 \end{array} \right.\Rightarrow \frac{A_1B_1}{B_1C_1}=\frac{A_2B_2}{B_2C_2}$ Định lí đảo của định lí Thales trong không gian. Cho hai đường thẳng $d_1,d_2$ chéo nhau và các điểm $A_1,B_1,C_1\in d_1$ và $A_2,B_2,C_2\in d_2$ sao cho $\frac{A_1B_1}{B_1C_1}=\frac{A_2B_2}{B_2C_2}$ Khi đó các đường thẳng $A_1A_2,B_1B_2,C_1C_2$ cùng song song với một mặt phẳng. Hơn nữa, mặt phẳng này không duy nhất
Bài tập nâng cao Hai mặt phẳng song song · Bài 31
Xem lời giải
Lời giải
Thuận: Giả sử $M\in\left( P \right),N\in\left( Q \right)$ và điểm $I$ thuộc đoạn MN sao cho $\frac{IM}{IN}=k$.
Trên hai mặt phẳng $\left( P \right)$ và $\left( Q \right)$ ta lần lượt lấy hai điểm cố định $M_0$ và $N_0$ rồi lấy điểm $I_0$ thuộc đoạn $M_0N_0$ sao cho $\frac{M_0I_0}{N_0I_0}=k$. Khi đó $I_0$ cố định. Suy ra $\frac{IM}{IN}=\frac{I_0M_0}{I_0N_0}$.
$\Rightarrow \frac{IM}{I_0M_0}=\frac{IN}{I_0N_0}=\frac{IM+IN}{I_0M_0+I_0N_0}=\frac{MN}{M_0N_0}$
Áp dụng định lí Talet đảo, suy ra $I_0I\subset\left( R \right),\,\,\left( R \right)\parallel\left( P \right)$, $\left( R \right)\parallel\left( Q \right)$, mặt phẳng $\left( R \right)$ cố định vì nó đi qua điểm cố định $I_0$ và song song mặt phẳng cố định $\left( P \right)$. Vậy $I\in\left( R \right)$ cố định.
Đảo: Ngược lại, lấy điểm $I'$ bất kì trên mặt phẳng $\left( R \right)$, qua $I'$ ta kẻ một đường thẳng cắt $\left( P \right),\left( Q \right)$ lần lượt tại $M',N'$. Xét cát tuyến $M_0N_0,M'N'$ và ba mặt phẳng $\left( P \right),\left( Q \right),\left( R \right)$. Theo định lí Ta – lét ta có $\frac{I'M'}{I_0M_0}=\frac{I'N'}{I_0N_0}=\frac{M'N'}{M_0N_0}$.
Từ đó suy ra $I'$ thuộc $M'N'$ và $\frac{I'M'}{I'N'}=\frac{I_0M_0}{I_0N_0}=k$.
Vậy tập hợp I thuộc đoạn $MN$ sao cho $\frac{IM}{IN}=k$ là mặt phẳng $\left( R \right)$ nói trên.