Bài tập nâng cao · Bài 30
DẠNG 3. MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÍ TA-LÉT Định lí Ta-let trong không gian Ba mặt phẳng song song chắn trên hai đường thẳng những đoạn thẳng tỷ lệ. [IMAGE:question_images/11-13. HAI MP SONG SONG - HINH LANG TRU/F. BAI TAP NANG CAO/image682.png] $\left\{ \begin{array}{l} \left( \alpha \right)\parallel\left( \beta \right)\parallel\left( \gamma \right) \\ d_1\cap\left( \alpha \right)=A_1,\,d_1\cap\left( \beta \right)=B_1,\,d_1\cap\left( \gamma \right)=C_1 \\ d_2\cap\left( \alpha \right)=A_2,\,d_2\cap\left( \beta \right)=B_2,\,d_2\cap\left( \gamma \right)=C_2 \end{array} \right.\Rightarrow \frac{A_1B_1}{B_1C_1}=\frac{A_2B_2}{B_2C_2}$ Định lí đảo của định lí Thales trong không gian. Cho hai đường thẳng $d_1,d_2$ chéo nhau và các điểm $A_1,B_1,C_1\in d_1$ và $A_2,B_2,C_2\in d_2$ sao cho $\frac{A_1B_1}{B_1C_1}=\frac{A_2B_2}{B_2C_2}$ Khi đó các đường thẳng $A_1A_2,B_1B_2,C_1C_2$ cùng song song với một mặt phẳng. Hơn nữa, mặt phẳng này không duy nhất
Bài tập nâng cao Hai mặt phẳng song song · Bài 30
a) Chứng minh rằng
b) Tìm
c) Tìm
Xem lời giải
Lời giải
a) Ta có $\frac{BM}{MS}=\frac{NC}{NA}\Rightarrow BC,MN,SA$ song song với mặt phẳng $\left( P \right)$ nào đó. Mà $BC\parallel AD\Rightarrow AD,MN,SA$ song song với mặt phẳng $\left( P \right)$ nào đó. $AD\cap SA=\left\{ A \right\}\Rightarrow MN\parallel\left( P \right)\parallel\left( AD,SA \right)\equiv\left( SAD \right)$- cố định
$\Rightarrow MN\parallel\left( SAD \right)$ cố định.
b) Tìm $x$ để $\left( MNG \right)\parallel\left( SAD \right)$.
$\left\{ \begin{array}{l} \left( MNG \right)\parallel\left( SAD \right) \\ MN\parallel\left( SAD \right) \end{array} \right.\Rightarrow NG\parallel\left( SAD \right)\left( 1 \right)$.
$NG\subset\left( NGQ \right)$ ($Q$ là trung điểm của $DC$).
$\left( NGQ \right)\equiv\left( QGL \right)$ ( với $NQ\cap AD=\left\{ L \right\}$), $\left( GQL \right)\equiv\left( SLQ \right)$ ( vì $QG\equiv SQ$)
$\Rightarrow NG\subset\left( SLQ \right)\cap\left( SAD \right)=SL\,\,\,\,\,\left( 2 \right)$
Từ (1) và (2) $\Rightarrow NG\parallel SL$. Theo định lí Ta-let ta có:
$\frac{NG}{SL}=\frac{QG}{QS}=\frac{QN}{QL}=\frac{1}{3}$ (vì $G$ là trọng tâm $\Delta SLQ$)
Mà $Q$ là trung điểm $DC\Rightarrow N$ là trọng tâm $\Delta LCD\Rightarrow A$ là trung điểm $LD\Rightarrow \frac{NC}{NA}=2\Rightarrow x=2$.
c) Tìm $x$ để $NG\parallel\left( SAB \right)$
$NG\subset\left( NGQ \right)\equiv\left( SKQ \right)$ với $\left\{ K \right\}=LQ\cap AB$ mà $\left( SKQ \right)\cap\left( SAB \right)=SK$,
$NG\parallel\left( SAB \right)\left( gt \right)\Rightarrow NG\parallel SK$,
Theo định lí Talet $\Rightarrow \frac{QN}{NK}=\frac{QG}{GS}=\frac{1}{2}$ mà $AB\parallel CD\Rightarrow \frac{NQ}{NK}=\frac{NC}{NA}=x\Rightarrow x=\frac{1}{2}$
Vậy $x=\frac{1}{2}$ thì $NG\parallel\left( SAB \right)$.