Bài tập nâng cao · Bài 29
DẠNG 3. MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÍ TA-LÉT Định lí Ta-let trong không gian Ba mặt phẳng song song chắn trên hai đường thẳng những đoạn thẳng tỷ lệ. [IMAGE:question_images/11-13. HAI MP SONG SONG - HINH LANG TRU/F. BAI TAP NANG CAO/image682.png] $\left\{ \begin{array}{l} \left( \alpha \right)\parallel\left( \beta \right)\parallel\left( \gamma \right) \\ d_1\cap\left( \alpha \right)=A_1,\,d_1\cap\left( \beta \right)=B_1,\,d_1\cap\left( \gamma \right)=C_1 \\ d_2\cap\left( \alpha \right)=A_2,\,d_2\cap\left( \beta \right)=B_2,\,d_2\cap\left( \gamma \right)=C_2 \end{array} \right.\Rightarrow \frac{A_1B_1}{B_1C_1}=\frac{A_2B_2}{B_2C_2}$ Định lí đảo của định lí Thales trong không gian. Cho hai đường thẳng $d_1,d_2$ chéo nhau và các điểm $A_1,B_1,C_1\in d_1$ và $A_2,B_2,C_2\in d_2$ sao cho $\frac{A_1B_1}{B_1C_1}=\frac{A_2B_2}{B_2C_2}$ Khi đó các đường thẳng $A_1A_2,B_1B_2,C_1C_2$ cùng song song với một mặt phẳng. Hơn nữa, mặt phẳng này không duy nhất
Bài tập nâng cao Hai mặt phẳng song song · Bài 29
a) Chứng minh rằng khi
b) Chứng minh rằng khi
Xem lời giải
Lời giải
a) Từ giả thiết ta có $\frac{AM}{DN}=\frac{MD'}{NB}=\frac{AD'}{DB}$, theo định lí Ta – lét đảo, suy ra $AD,\,\,MN,\,\,D'B$ luôn song song với một mặt phẳng. Vậy $MN$ luôn song song với một mặt phẳng $\left( P \right)$, mà mặt phẳng $\left( P \right)$ song song với $AD$ và $D'B$ nên ta chọn mặt phẳng $\left( P \right)$ là mặt phẳng $\left( A'D'CB \right)$ cố định.
b) Gọi $O$ là giao điểm của $DB$ và $AC$. Ta có
$DN=x=\frac{a\sqrt{2}}{3},\,\,DO=\frac{a\sqrt{2}}{2}\,\,\Rightarrow DN=\frac{2}{3}DO$
Suy ra $N$ là trọng tâm của tam giác $ADC$.
Chứng minh tương tự, ta có $M$ là trọng tâm tam giác $A'AD$. Vậy $CN$ và $A'M$ cắt nhau tại $I$ là trung điểm của $AD$. Ta có
$\frac{IM}{IA'}=\frac{IN}{IC}=\frac{1}{3}\Rightarrow MN\parallel A'C$.
Nhận xét: Trong phần a) có thể giải theo cách khác như sau:
Gọi $\left( P \right)$ là mặt phẳng qua $AD$ và song song với mặt phẳng $\left( A'D'CB \right)$. Gọi $\left( Q \right)$ là mặt phẳng qua $M$ và song song với mặt phẳng $\left( A'D'CB \right)$. Giả sử $\left( Q \right)$ cắt $DB$ tại $N'$. Theo định lí Ta – lét ta có $\frac{AM}{AD'}=\frac{DN'}{DB}\,\,\,\,(*)$.
Vì các mặt của hình hộp là hình vuông cạnh $a$ nên $AD'=DB=a\sqrt{2}$. Từ $(*)$ ta có $AM=DN'$
Suy ra $DN'=DN\Rightarrow N'\equiv N\Rightarrow MN\subset\left( Q \right)$. Mà $\left( Q \right)\parallel\left( A'D'CB \right)$ suy ra $MN$ luôn song song với mặt phẳng cố định $\left( A'D'CB \right)$.