Bài tự luận · Bài 25
Dạng 3. Ứng dụng
Bài tự luận Nhị thức Newton · Bài 25
(CD10) Tính các tổng sau (không sử dụng máy tính cầm tay):
a) $T=C_4^0+\dfrac12C_4^1+\dfrac13C_4^2+\dfrac14C_4^3+\dfrac15C_4^4$;
b) $S=C_6^1+2C_6^2+3C_6^3+4C_6^4+5C_6^5+6C_6^6$.
a) $T=C_4^0+\dfrac12C_4^1+\dfrac13C_4^2+\dfrac14C_4^3+\dfrac15C_4^4$;
b) $S=C_6^1+2C_6^2+3C_6^3+4C_6^4+5C_6^5+6C_6^6$.
Xem lời giải
Lời giải
Dựa vào kết quả chứng minh của bài 27 chương $V$ là $\dfrac1{k+1}C_n^k=\dfrac1{n+1}C_{n+1}^{k+1}$ $(0\leq k\leq n)$,
ta có:
a) $T=1C_4^0+\dfrac12C_4^1+\dfrac13C_4^2+\dfrac14C_4^3+\dfrac15C_4^4=\dfrac15C_5^1+\dfrac15C_5^2+\dfrac15C_5^3+\dfrac15C_5^4+\dfrac15C_5^5$
$=\dfrac15(C_5^1+C_5^2+C_5^3+C_5^4+C_5^5)=\dfrac15[(C_5^0+C_5^1+C_5^2+C_5^3+C_5^4+C_5^5)-C_5^0]$
$=\dfrac15[(1+1)^5-1]=\dfrac{31}{5}$.
b) Áp dụng kết quả $kC_n^k=nC_{n-1}^{k-1}$ $(1\leq k\leq n)$ ta có
$S=1C_6^1+2C_6^2+3C_6^3+4C_6^4+5C_6^5+6C_6^6$
$=6C_{6-1}^{1-1}+6C_{6-1}^{2-1}+6C_{6-1}^{3-1}+6C_{6-1}^{4-1}+6C_{6-1}^{5-1}+6C_{6-1}^{6-1}$
$=6(C_5^0+C_5^1+C_5^2+C_5^3+C_5^4+C_5^5)$
$=6(C_5^0\cdot1^5+C_5^1\cdot1^4\cdot1+C_5^2\cdot1^3\cdot1^2+C_5^3\cdot1^2\cdot1^3+C_5^4\cdot1\cdot1^4+C_5^5\cdot1^5)$
$=6(1+1)^5=6\cdot2^5=192$.
ta có:
a) $T=1C_4^0+\dfrac12C_4^1+\dfrac13C_4^2+\dfrac14C_4^3+\dfrac15C_4^4=\dfrac15C_5^1+\dfrac15C_5^2+\dfrac15C_5^3+\dfrac15C_5^4+\dfrac15C_5^5$
$=\dfrac15(C_5^1+C_5^2+C_5^3+C_5^4+C_5^5)=\dfrac15[(C_5^0+C_5^1+C_5^2+C_5^3+C_5^4+C_5^5)-C_5^0]$
$=\dfrac15[(1+1)^5-1]=\dfrac{31}{5}$.
b) Áp dụng kết quả $kC_n^k=nC_{n-1}^{k-1}$ $(1\leq k\leq n)$ ta có
$S=1C_6^1+2C_6^2+3C_6^3+4C_6^4+5C_6^5+6C_6^6$
$=6C_{6-1}^{1-1}+6C_{6-1}^{2-1}+6C_{6-1}^{3-1}+6C_{6-1}^{4-1}+6C_{6-1}^{5-1}+6C_{6-1}^{6-1}$
$=6(C_5^0+C_5^1+C_5^2+C_5^3+C_5^4+C_5^5)$
$=6(C_5^0\cdot1^5+C_5^1\cdot1^4\cdot1+C_5^2\cdot1^3\cdot1^2+C_5^3\cdot1^2\cdot1^3+C_5^4\cdot1\cdot1^4+C_5^5\cdot1^5)$
$=6(1+1)^5=6\cdot2^5=192$.