Bài tự luận · Bài 18
Dạng 2. Tính số các chỉnh hợp
Bài tự luận Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp · Bài 18
(CTST10) Từ các chữ số $ 1;2;3;4;5;6 $ có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên:
a) Có bốn chữ số khác nhau?
b) Có bốn chữ số khác nhau và chia hết cho 5 ?
c) Có bốn chữ số khác nhau và lớn hơn 4500 ?
a) Có bốn chữ số khác nhau?
b) Có bốn chữ số khác nhau và chia hết cho 5 ?
c) Có bốn chữ số khác nhau và lớn hơn 4500 ?
Xem lời giải
Lời giải
a) Để lập số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau từ 6 chữ số đã cho, ta chọn 4 trong 6 chữ số đó và sắp xếp theo một thứ tự. Do đó, có thể coi mỗi số đó là một chỉnh hợp chập 4 của 6 chữ số đó. Do đó, có $ A_{ 6 } ^{ 4 }=6\cdot 5\cdot 4\cdot 3=360 $ số như vậy.
b) Để số lập được chia hết cho 5, chữ số tận cùng của nó phải chia hết cho 5. Vậy chữ số tận cùng là 5. Có $ A_{ 5 } ^{ 3 } $ cách chọn 3 trong 5 chữ số còn lại để viết các chữ số còn lại. Một số chia hết cho 5 thì $ A_{ 5 } ^{ 3 }=5\cdot 4\cdot 3=60 $.
c) Kí hiệu $ \overline{abcd} $ là số tự nhiên có bốn chữ số thoả mãn yêu cầu.
Vì $ \overline{abcd}>4500 $ nên $ a\geq 4 $
Trường hợp 1: $ a=4 $. Khi đó, để $ \overline{abcd}>4500 $ điều kiện cần và đủ là $ b\geq 5 $. Có hai cách chọn chữ số $ b $ (5 hoặc 6). Có $ A_{ 4 } ^{ 2 } $ cách chọn hai chữ số còn lại.
Do đó, trường hợp này có $ 2A_{ 4 } ^{ 2 }=2\cdot 4\cdot 3=24 $ số thoả mãn yêu cầu.
Trường hợp 2: $ a\geq 5 $. Khi đó, đương nhiên $ \overline{abcd}>4500 $. Có hai cách chọn chữ số a (5 hoặc 6). Có $ A_{ 5 } ^{ 3 } $ cách chọn ba chữ số còn lại.
Do đó, trường hợp này có $ 2A_{ 5 } ^{ 3 }=2\cdot 5\cdot 4\cdot 3=120 $ số thoả mãn yêu cầu. Áp dụng quy tắc cộng, có $ 24+120=144 $ số tự nhiên thoả mãn yêu cầu.
b) Để số lập được chia hết cho 5, chữ số tận cùng của nó phải chia hết cho 5. Vậy chữ số tận cùng là 5. Có $ A_{ 5 } ^{ 3 } $ cách chọn 3 trong 5 chữ số còn lại để viết các chữ số còn lại. Một số chia hết cho 5 thì $ A_{ 5 } ^{ 3 }=5\cdot 4\cdot 3=60 $.
c) Kí hiệu $ \overline{abcd} $ là số tự nhiên có bốn chữ số thoả mãn yêu cầu.
Vì $ \overline{abcd}>4500 $ nên $ a\geq 4 $
Trường hợp 1: $ a=4 $. Khi đó, để $ \overline{abcd}>4500 $ điều kiện cần và đủ là $ b\geq 5 $. Có hai cách chọn chữ số $ b $ (5 hoặc 6). Có $ A_{ 4 } ^{ 2 } $ cách chọn hai chữ số còn lại.
Do đó, trường hợp này có $ 2A_{ 4 } ^{ 2 }=2\cdot 4\cdot 3=24 $ số thoả mãn yêu cầu.
Trường hợp 2: $ a\geq 5 $. Khi đó, đương nhiên $ \overline{abcd}>4500 $. Có hai cách chọn chữ số a (5 hoặc 6). Có $ A_{ 5 } ^{ 3 } $ cách chọn ba chữ số còn lại.
Do đó, trường hợp này có $ 2A_{ 5 } ^{ 3 }=2\cdot 5\cdot 4\cdot 3=120 $ số thoả mãn yêu cầu. Áp dụng quy tắc cộng, có $ 24+120=144 $ số tự nhiên thoả mãn yêu cầu.