Đúng/Sai · Câu 43
Trong một công viên toán học, ở một mặt của bờ hồ người ta xây dựng một đường đi có dạng là một phần của đồ thị hàm số bậc ba $ y=f\left ( { x } \right ) $, $ \left ( { C } \right ). \left ( { C } \right ) $ nằm trên mặt phẳng $ Oxy $ mà mỗi đơn vị trên mỗi trục $ Ox,Oy $ tương ứng với độ dài 10 mét. Biết $ \left ( { C } \right ) $ có một điểm cực trị có tọa độ $ \left ( { 1;2 } \right ) $ và có tâm đối xứng là gốc tọa độ $ O $. Ở giữa hồ người ta xây dựng một khu vui chơi có dạng là hình tròn $ \left ( { H } \right ) $ có bán kính bằng 20 mét và có tọa độ tâm là $ A\left ( { 11;-1 } \right ) $. Người ta thiết kế một cây cầu từ một điểm trên $ \left ( { C } \right ) $ đến $ \left ( { H } \right ) $ sao cho độ dài cây cầu là ngắn nhất. Biết chi phí làm mỗi mét theo chiều dài cây cầu là 100 triệu đồng.
Chọn Đúng hoặc Sai cho từng ý.
Xem đáp án và lời giải
Kết quả từng mệnh đề
- a. Sai
- b. Đúng
- c. Sai
- d. Đúng
Lời giải
a) Gọi phương trình $ f\left ( { x } \right )=ax ^ { 3 } +b{ \rm{ x } } ^ { 2 } +c{ \rm{ x } }+d $
Vì $ \left ( { C } \right ) $ qua $ O $ nên $ d=0 $, tâm đối xứng $ O $ nên điểm cực trị thứ hai là $ \left ( { -1;-2 } \right ) $
Vì $ \left ( { C } \right ) $ có điểm cực trị $ \left ( { 1;2 } \right ) $ và $ \left ( { -1;-2 } \right ) $ nên $ \left \{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} a+b+c=2 \\ -a+b-c=-2 \\ 3{ \rm{ a } }+2b+c=0 \\ \end{array} \end{array} \right.⇔\left \{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} a=-1 \\ b=0 \\ c=3 \\ \end{array} \end{array} \right.⇒f\left ( { x } \right )=-x ^ { 3 } +3{ \rm{ x } } $
Do đó ý a Sai
b) Dễ thấy đường thẳng qua 2 điểm cực trị $ \left ( { 1;2 } \right ),\left ( { -1;-2 } \right ) $ là $ y=2x $. Do đó ý b) là đúng
c) Vì mỗi đơn vị trên trục ứng với 10 mét độ dài nên đường tròn là biên của $ \left ( { H } \right ) $có phương trình $ \left ( { x-11 } \right ) ^ { 2 } +\left ( { y+1 } \right ) ^ { 2 } =4 $ (T). Do đó c) sai
d) Gọi điểm chân cầu trên $ \left ( { C } \right ) $ là $ M\left ( { x;-x ^ { 3 } +3x } \right ) $ và điểm chân cầu trên $ \left ( { H } \right ) $ là $ N $ thì dễ thấy $ N $ là giao của $ AM $ với (T), nên ta có $ MN=AM-2 $. Vì vậy $ MN $ nhỏ nhất khi $ AM $ nhỏ nhất
$ AM ^ { 2 } =\left ( { x-11 } \right ) ^ { 2 } +\left ( { -x ^ { 3 } +3{ \rm{ x } }+1 } \right ) ^ { 2 } =g\left ( { x } \right ) $
Dùng đạo hàm hoặc casio hoặc dùng ý nghĩa tiếp tuyến ta dễ dàng thấy $ g\left ( { x } \right ) $ đạt giá trị nhỏ nhất bằng 82 khi $ x=2 $
Từ đó chi phí làm cây cầu này là $ \left ( { \sqrt[] { 82 }-2 } \right ).10.100≈7055 $ triệu đồng.
Vậy ý d) là đúng